第41届全国中学生物理竞赛决赛理论试题（PDF版，含答案）

第 41届全国中学生物理竞赛决赛理论试题解答与评分标准 一、（50 分） （1）依题意，母核 A P到子核 AZ Z 1D 的β 衰变可表述为 A P AZ Z 1D e 记母核的静止质量为m 、子核的静止质量为m 和电子的静止质量为m ，假设衰变前母核处于静止状态，P D e 由能量守恒知，该衰变过程的衰变能（包括衰变后除 A D 、电子 e 外的其它粒子的能量）可由母核、子Z 1 核和电子的静止质量表述为 Q [m 2P (mD me )]c ① 依题意，相应于母核的原子、相应于子核的原子的静止质量分别为 P、 D，有 mP M P Zme , ② mD M Z 1 m ③ D e 于是，β–衰变的衰变能Q 可以表示为： Q (M M 2 P D )c ④ 此β–衰变的发生的条件是 Q 0 ， ⑤ 由①②③式，发生β–衰变的条件⑤可表述为 MP (Z , A) MD (Z 1, A) ⑥ 这就是说，对于原子序数分别为 Z 和 Z+1 的两个同量异位素，只有在前者的原子质量大于后者的原子质 量的情况下，才能发生β–衰变。 （2）如果在这个衰变过程中不产生新的粒子，那么在原子核的层次上它就是 P D e P 的总能量是 2P = P ，记 D 的总能量为 D，动量为 D，电子的总能量为 e，动量为 e，则能量守恒和动 量守恒分别是 2 mPc ED Ee ⑦ 0 p ⑧ D pe 由⑧式得 p p p ⑨ D e 利用⑨式，⑦式成为 p2 K (m m m )c2 ⑩ e P D e 2mD 这里 p2 E m c2 D D 2mD Ke E 2 e mec 1 由相对论能量-动量关系有 2 2 4 Ee ( pc) me c 将 式代入 式得 2 1 2 p Ke (Ke 2mec ) c2 由⑩ 式消去 p 得 e满足方程 2 2 4 K 2 m m c K 2m (m m m )c 0e D e e D P D e 式的解 2 Ke mD me mD me 2mD (mP mD m 2 e ) c mD (2mP mD ) m 2 e mD me c 2 (M D ZDme )[2(M P ZPme ) (M D ZDme )] m 2 e [(M D ZDme ) me ] c 2 M D (2M P M D ) 2[M 2 2 2 D ZDM P ]me ZPme M D ZPme ) c 负根已舍去，且利用了忽略电子在原子中的结合能后的近似关系 M m P P ZPme M m Z m D D D e 以及 Z Z 1 P D 将题给数据代入 式得 Ke [209.982883 (2 209.984130 209.982883) 2 209.982883 84 209.984130 0.511 0.511 0.511 (83 )2 ]1/2 209.982883 83 931.494MeV 1.161MeV 931.494 931.494 931.494 【另解： 忽略电子在原子中的结合能， 210 Bi 核的质量为 83 mP MP 83me 209.984130 83 0.000549 209.938563 amu ’ 它在β–衰变后生成的核 21084 Po的质量为 mD MD 84me 209.982883 84 0.000549 209.936767amu ’ 式的正根为 2 2e = (√( D + e) + 2 D( P D e) D e) = (√ D(2 P 2 2 D) + D e) = (√ 2P ( P 2 2 D) + D e) 2 ′ 这里， ( P 2 2 D) 10 2 ~10 , 2 ~10 11 P P 所以， 式为 2e = ( P D e) ′ 2 这个式子的物理意义非常清楚：210 84 Po核比电子重得太多了，所以它的反冲动能 比起电子的动能 来可以2 e 忽略不计。代入数值即得 Ke 209.938563 209.936767 0.000549 amu c 2 ’ 0.001247amu c2 1.161MeV 事实上，再回到原子质量（而不是核质量），它正是 K M ( 210 210 2e 83 Bi) M ( 84 Po) c 209.984130 209.982883 amu c 2 0.001247amu c2 1.161MeV 2 】 （3）按照假设 P D e 而得到的衰变后电子的动能，与实验中看到的电子动能的最大值相当。所以第三 个粒子（中微子）的静止质量应该非常接近于 0（≤ 0.03MeV/ 2，接近此值的都算对），（*）否则的话实 验测得的电子的动能分布谱中的动能最大值就应该明显小于图中的最大值。 （**） （4）由题设知，β–衰变的元过程为： n → p + e + X 中子、质子和电子的电荷分别为 Q n 0, Qp 1, Q 1 e 由衰变前后电荷守恒知，X 的电荷为 Q Q (Q Q ) 0 X n p e 依题意，衰变前系统的角动量即中子的自旋，有 1 li = Sn = 2 假定衰变后的粒子只有质子 p和电子 e 。质子和电子的自旋都为 1 1 Sp = ， S = 2 e 2 根据题给的两个角动量的合成法 ... ...