3．万有引力理论的成就 [学习任务] 1．了解万有引力定律在天文学上的应用，掌握解决天体运动问题的基本思路。 2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度。 3．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。 [问题初探] 问题1．如何利用重力加速度“称量”地球的质量？ 问题2．如何利用行星的公转周期“称量”太阳的质量？ [自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。 ———称量”地球的质量 计算天体的质量 1．“称量”地球的质量 (1)合理假设：不考虑地球自转的影响。 (2) “称量”依据：地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝G ，由此可解得m地＝。 (3)结论：只要知道g、R和G的值，就可以算出地球的质量。 2．计算天体的质量 (1)计算太阳的质量：行星做匀速圆周运动的向心力由太阳与行星间的万有引力提供，列出方程G＝m，由此可解得m太＝。 (2)结论：只要知道行星的公转周期T和它与太阳的距离r，就可以计算出太阳的质量。 (3)计算行星的质量：与计算太阳的质量一样，若已知卫星绕行星运动的周期T和轨道半径r，就可以计算出行星的质量m行＝。 1969年7月，美国航天员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步。 【问题】 (1)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？依据是什么？ (2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，能否求出月球的质量呢？为什么？ (3)若月球半径R已知，航天员能观察到近月卫星的运动，试想一下：航天员若想测出月球的质量，可采用什么方法？ 提示：(1)能求出地球的质量。利用G ＝mr，求出的质量M＝为中心天体即地球的质量。 (2)不能。由G ＝mr可知，做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的公转周期T、公转半径r无法计算月球的质量。 (3)用停表测出航天员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间T，由万有引力提供向心力，可知G ＝mR，故M＝。 1．天体质量的计算 (1)重力加速度法 若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G ，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。 (2)环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下： 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和运行周期 G＝mrω2 M＝ G ＝mr M＝ 【微提醒】 只能求出中心天体的质量M，不能求出环绕天体的质量m。 2．天体密度的计算 (1)若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入上式可得ρ＝。 (2)当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝。 【典例1】 航天员在半径为R的某星球表面将一小钢球以v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升的最大高度为h。不计空气阻力，忽略该星球的自转，R远大于h，该星球为密度均匀的球体，引力常量为G。求： (1)该星球表面的重力加速度g的大小； (2)该星球的质量M。 [解析] (1)根据题意和速度位移关系公式，有 ＝2gh 解得该星球表面的重力加速度大小 g＝。 (2)静止在该星球表面的物体，根据重力等于万有引力，有 G＝mg 解得星球的质量 M＝。 [答案] 【典例2】 (选自人教版教材·利用环绕法计算天体质量)某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是6.8×103 km，周期是5.6×103 s，引力常量G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，试从这些数据估算地球的质量(结果保留一位有效数字)( ) A．6×1020 kg B．6×1022 kg C．6×1024 kg D．6×1026 kg C [设地球的质量为M ... ...
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