7.4 二项分布与超几何分布（学案+练习）-2024-2025学年高二下学期数学《考点突破》（人教A版2019选择性必修三）

中小学教育资源及组卷应用平台 7.4 二项分布与超几何分布 考点一 二项分布 【例1】（24-25高二上·河南南阳·期末）甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中8环．根据统计资料可知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.7，0.2，0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.6，0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立． (1)在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率； (2)若独立进行三场比赛，用X表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解析】（1）设甲击中的环数多于乙击中的环数为事件A， 则事件A包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环， 所以. （2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3， 由（1）知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则， 因此， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.512 0.384 0.096 0.008 期望. 【一隅三反】 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就‘趣’FUN肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是，进入达人秀决赛的概率均是，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响． (1)求甲两个比赛都进入决赛的概率； (2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为．求随机变量的概率分布和数学期望 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【解析】（1）设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件，“甲进入达人秀决赛”为事件， 则， 因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响， 所以事件和事件相互独立， 所以甲两个比赛都进入决赛的概率为. 故甲两个比赛都进入决赛的概率为. （2）的可能取值为，所以 ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 所以. 2．（23-24 四川攀枝花·阶段练习）某学校食堂中午和晚上都会提供A，B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为：在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晚上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为． (1)求同学甲晚上选择B类套餐的概率； (2)记某宿舍的4名同学在晚上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【解析】（1）设事件为甲晚上选套餐，事件为甲中午选套餐，事件为甲中午选套餐， 则，，故. （2）由（1）知：，则宿舍的4名同学晚上选B套餐的人数为， 所以， 则，， ，， ， 所以X的分布列如下， 0 1 2 3 4 则. 3．（23-24高二下·天津西青·期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． (1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； (2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)(2)(3)分布列见解 ... ...