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课件网) 第八章 立体几何初步 平行 a∥b 答案:D 任意一点 任意一点 答案:D ○ 21世织纪教痘 2订世看 ,27G2@PA级 基础巩固 1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或平行 解析:由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们相互平行. 答案:B 2.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,若C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系不正确的是 ( ) PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 解析:由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,A项不符合题意;因为AB为圆的直径,所以BC⊥AC,且AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,B、D项均不符合题意.故选C. 答案:C 3.已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A α,B α,且OA=AB. 若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD= ( ) A.2 B.1 C. D. 解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.如图所示,连接OD,则=. 因为OA=AB,所以=. 因为AC=1,所以BD=2. 答案:A 4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是菱形. 解析:易知BD⊥平面PAC.所以BD⊥AC.因为四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD一定是菱形. 5.已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点.求证:DE⊥PE. 证明:如图,连接AE. 在矩形ABCD中,由AD=4,AB=2,E为BC的中点, 可得AE=ED=2,所以AD2=AE2+DE2, 所以AE⊥DE. 因为PA⊥平面ABCD,DE 平面ABCD, 所以PA⊥DE. 因为PA∩AE=A,PA 平面PAE,AE 平面PAE,所以DE⊥平面PAE. 因为PE 平面PAE,所以DE⊥PE. B级 能力提升 6.若l,m,n表示三条互不重合的直线,α表示平面,则下列说法中正确的个数为 ( ) ①l∥m,m∥n,l⊥α n⊥α;②l∥m,m⊥α,n⊥α l∥n;③m⊥α,n α m⊥n. A.1 B.2 C.3 D.0 解析:①正确,因为l∥m,m∥n,所以l∥n.因为l⊥α,所以n⊥α;②正确,因为l∥m,m⊥α,所以l⊥α.因为n⊥α,所以l∥n;③正确,由线面垂直的定义可知其正确. 答案:C 7.地面上有两根相距a m的旗杆,若它们的高分别是 b m和 c m(b>c),则它们上端的距离为m. 解析:由线面垂直的性质定理可知,两根旗杆所在直线互相平行.如图所示,它们上端的距离d=(m). 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,平面AB1D1到平面BC1D的距离为. 解析:由题意可知,原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h.由题意可得△AB1D1为等边三角形,各边长度均为2.由等体积法可得,=,即h×××22×sin 60°=××××,解得h=,即平面AB1D1到平面BC1D的距离为. 9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,AE⊥PD于点E,直线l⊥平面PCD,且直线l不经过点E.求证:l∥AE. 证明:因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD, 所以PA⊥CD.因为四边形ABCD是矩形,所以CD⊥AD. 因为PA∩AD=A,PA 平面PAD,AD 平面PAD,所以CD⊥平面PAD. 因为AE 平面PAD,所以AE⊥CD. 因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PD 平面PCD,CD 平面PCD,所以AE⊥平面PCD. 因为直线l⊥平面PCD,且直线l不经过点E, 所以l∥AE. C级 挑战创新 10.开放性问题如图所示,直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α),从点P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于直升机玻璃窗所在的平面β.试探讨平面β与平面α的位置关系. 解:平面β与平面α必相交. 假设平面α与平面β平行. 因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β. 因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB,与已知PA∩PB=P矛盾, 所以平面β必与平面α相交. ... ...
