广西南宁市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题(含详解)

南宁三中2024～2025学年度下学期高二期中考试 数学试题 2025.4 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（ ） A．24 B．26 C．30 D．32 2．随机变量的分布列为 0 1 则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 4．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 5．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 6．直线与圆相交的充分不必要条件可以是（ ） A． B． C．k > 2 D．k > 1 7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 8．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。） 9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的有（ ） A．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 B．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 C．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 D．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 10．已知无穷等差数列的前项和为，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，最大 C． D．当时， 11．已知正项等比数列的公比为，函数，则（ ） A．当时，无极值 B．当时，的极小值点为 C．当是递增数列时，在上单调递增 D．当是递减数列时，在上单调递减 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知角的终边经过点，则 . 13．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是.在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为 ． 14．我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 .（用数字作答） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本小题满分13分） 如图，直三棱柱中，，，是的中点． (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分） 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和，求证：． 17．（本小题满分15分） 已知函数 (1)当时，求函数的极值； (2)求函数的单调区间. 18．（本小题满分17分） 甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛.已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响.制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮3次.一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多2个时，则该方获胜并得1分，另一方不得分.其他情况，双方均不得分. (1)若， （i）假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率； （ii）求在一轮比赛结束后，乙获得1分的概率. (2)若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值可以达到3分？ 19.（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，动点到定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数2，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知点，，为曲线的左、右顶点．若直线与曲线的右支分别交于点. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求的最 ... ...