6.1.1 函数的平均变化率 课件（19页PPT）

第六章 导数及其应用 6.1.1 函数的平均变化率 人教B版(2019)选择性必修第三册 1.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率． 2.理解函数平均变化率的几何意义和物理意义． 3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题. 世界上的变化无处不在，人们经常关心变化的快慢问题.如何刻画事物变化的快慢呢？ B(25，16.4) 1 A(1，3.6) 16.4 3.6 28.8 O 25 27 t (d) T(oC) C(27，28.8) 气温曲线 实例：在“3月25日到27日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月1日到25日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢? 气温差不能反映气温变化的快慢程度 B(25，16.4) 1 A(1，3.6) 16.4 3.6 28.8 O 25 27 t (d) T(oC) C(27，28.8) 气温曲线 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到25，气温从3.6oC增加到16.4oC，气温平均变化16.4?3.625?1≈0.5 当时间从25到27，气温从16.4oC增加到28.8oC，气温平均变化28.8?16.427?25≈6.2 因为6.2>0.5， 所以，从25日到27日，气温变化的更快一些. ? 一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则称Δx=x2-x1为自变量的改变量； 称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量； 称Δ????Δ????=????2?????1????2?????1或Δ????Δ????=????(????2)?????(????1)????2?????1为函数y=f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率. ? 问题：如图，观察函数y=f(x)的图象，说说它在区间[x1，x2]上的平均变化率Δ????Δ????=????(????2)?????(????1)????2?????1=????(????1+Δ????)?????(????1)Δ????表示的都是什么？ ? 直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)). 函数平均变化率的几何意义: 如图所示，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2)). 事实上， 讨论:在平均变化率中， Δx， Δy， ΔyΔx是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？ ? Δx可以为正数，也可以为负数，但Δx不可以为0，Δy可以为0. 当平均变化率ΔyΔx等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数. 例如函数f(x)=x2在区间[-2，2]的平均变化率是0，但它不是常数函数. ? 例1 已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则ΔyΔx＝(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 ? 解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－1＝2Δx2＋4Δx， ∴????y????x＝2Δx＋4. ? C 例2 已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． ? ? 解:自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f2?f12?1＝2+12?1+11＝12； 自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f5?f35?3＝5+15?3+132＝1415. 因为12<1415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快． ? 方法归纳 求平均变化率的主要步骤 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率Δ????Δ????＝????????2?????????1????2?????1. ? 当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想. 看图说话：如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？ 例3 已知函数f(x)的部分图象如图所示.若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为　　. 32 ? 解析：若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S=12×1×3=32. ? 从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段 ... ...