6.1.2 课时1 瞬时变化率与导数 课件（20张PPT）

6.1.2 课时1 瞬时变化率与导数 人教B版(2019)选择性必修第三册 1.理解瞬时变化率、导数的概念． 2.理解导数的几何意义． 3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程． 上节已经学习了函数的平均变化率和物体运动的平均速度的概念，二者有何关系？ 物体做变速运动时，设物体走过的路程????=????(????)， 则从????0到????0+?????的过程中，物体运动的平均速度就是函数????=????(????)在[????0，????0+?????]上的平均变化率. ? 阅读下列实例，回答问题： 实例1：一个小球从高空自由下落，其下落的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为 ，其中，g为重力加速度(g取9. 8 m/s2).估算小球在t=5 s这个时刻的瞬时速度. 分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式 ， 可以求出从5 s到6 s这段时间内小球的平均速度 有时用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度. 为了提高精度，可以缩短时间间隔，如求出5s到5.1s这段时间内的平均速度 用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度，这样更接近实际情况. 如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度. 解：将时间间隔每次缩短为上次的 ，计算出相应的平均速度，得到下表. 可以看岀，当时间t1趋于t0=5s时,平均速度趋于49 m/s,因此，可以认为小球在t0=5s 这个时刻的瞬时速度为49 m/s.从上面的分析和计算可以看岀，瞬时速度为49 m/s的物理意义是:如果小球保持这一时刻的速度进行运动,每秒将要运动49 m. 可以看出，当x1趋于x0=2 m时，平均线密度趋于0.707 kg/m. 实例2：如图, 一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设x(单位:m)表示OX这段棒的长,y(单位:kg)表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系： 估计该合金棒在x=2 m处的线密度(物理学的“线密度”定义为单位长度的质量). 解：由 ，可以计算出相应的平均线密度，得到下表. 从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.707 kg/m的物理意义是:如果有1 m长的这种线密度的质量均匀的合金棒，其质量将为0. 707 kg. 与实例1类似，同学们也可以动手计算当x1从“左侧”趋近于x0=2 m时的平均线密 度,会发现也趋于0.707 kg/m. 据此，可以认为合金棒在x0=2 m处的线密度约为0.707 kg/m. 实例1和实例2都是通过减小自变量的改变量（为计算方便选取 ，也可以选取 等）, 用平均变化率“逼近”瞬时变化率. 1.函数的瞬时变化率 一般地，设函数????＝????(????)在????0附近有定义，自变量在????＝????0处的改变量为Δ????，当Δ????无限接近于0时，若平均变化率 ??????????=????????0+??????????????0?????， 无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数????(????)在????＝????0处的瞬时变化率. ? 记作：当Δ????→0时，????????0+??????????????0?????→???? ? 2.导数 函数????(????)在????＝????0处的瞬时变化率为k，也称????(????)在x0处可导，并称k为????(????)在????＝????0处的导数，记作????′(????0)＝????. ? 记作：lim?????→0??????(????0+?????)?–??????(????0)?????=????，即f ?(x0) =lim?????→0??????(????0+?????)?–??????(????0)????? . ? 还可以说：当Δx→0时，函数的平均变化率的极限等于函数在x0处的瞬时变化率????. ? 讨论：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？ 区别：平均变化率刻画函数值在区间[????1，????2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在????0点处变化的快慢； 联系：当Δ????趋于0时，平均变化率Δ????Δ????趋于一个常数，这个常数即为函数在 ????0处的瞬时变化率，它是一个固定值． ? “Δ????趋于0”的含义：?Δ????趋于0的距离要多近有多近，即Δ?????0可以小于给定的任意小的正数，且始终Δ????≠0． ? 例1 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的 ... ...