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课件网) 6.2.2 课时1 函数的导数与极值 人教B版(2019)选择性必修第三册 “极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉的用语.尼古拉认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大，极大与极小是对立一致的.那么数学中“极大值”与“极小值”又是如何界定的呢 1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件. 2.会求函数的极值. 如图，函数的图象. 思考1：观察函数 在点、 处的函数值、 ，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点 f (x1) f(x3) y O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 比“附近”各点处的函数值都大. 比“附近”各点处的函数值都大. x f (x2) f(x4) y x O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 思考2:观察函数 在点处的函数值、 ，与它们“附近”各点处的函数值相比有什么特点 比“附近”各点处的函数值都小. 比“附近”各点处的函数值都小. 极值点与极值 一般地，设函数的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)，则称x0为函数的一个极大值点，且在x0处取极大值，例如a和； (2)，则称x0为函数的一个极小值点，且在x0处取极小值，例如b和. 极大值点与极小值点都称为极值点； 极大值与极小值都称为极值. 想一想:1.图中有哪些极值点？ 2.函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？ 3.区间端点可能是极值点吗？ 4.极值点是一个点吗？ 1.d、e、f、g、h、i. 2.可以，不一定. 3.不可能. 4.不是点，是横坐标. 极值是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况. 如图，函数的图象. 思考：(1)函数 在极值点处的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？ (2)函数 在极值点“附近”的切线有什么特征？这说明导数值有何特点？ (1)切线都是水平的，导数值都等于0. f (x1) f(x3) y x O a b y=f(x) x1 x2 x3 x4 f (x2) f(x4) (2)极值点“附近”左侧和右侧的切线斜率符号相反，导数值异号. (3)以为例，判断如果 ′()=0，则一定是函数的极值点吗？ (3)不一定，′(x)=3x2，从而′(0)=0，但0不是极值点 x y o y=x3 f ′(x0)=0 x0是函数 f(x) 的极值点 x0是函数 f(x) 的极值点 f ′(x0)=0 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f'(x0)=0. ①如果对于x0左侧附近的任意x，都有 f'(x)>0 ，对于x0右侧附近的任意x，都有f'(x)<0 ，那么此时x0是f(x)的极大值点. ②如果对于x0左侧附近的任意x，都有 f'(x)<0 ，对于x0右侧附近的任意x，都有f'(x)>0 ，那么此时x0是f(x)的极小值点. ③如果f'(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号 (或均为 负号 )，则x0一定不是y=f(x)的极值点. 例1 求下列函数的极值. 解：(1)f'(x)=6x(x2-1)2=6x(x+1)2(x-1)2. 令f'(x)=0，解得x1=-1，x2=0，x3=1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞) f'(x) - 0 - 0 + 0 + f(x) ↘ 无极值 ↘ 极小值0 ↗ 无极值 ↗ ∴当x=0时，f(x)有极小值且f(x)极小值=0，没有极大值. 当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表: 求可导函数f(x)的极值的步骤: ①求导数f'(x). ②求方程f'(x)=0的根. ③观察f'(x)在方程f'(x)=0的根左右两边的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值. 方法归纳 例2 设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间; (2)讨论f(x)的极值. 解：由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)]， 令f'(x)=0，解得x1=0，x2=a-1， (1)当a=1时，f'(x)=6x2≥0， f(x)在(-∞，+∞)内单调递增. 当a>1时，f'(x)=6x[x-(a-1)]， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: x (-∞，0) 0 (0，a-1) a-1 (a-1，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从 ... ...
