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课件网) 5.3.2 课时2 等比数列的前n项和的性质与应用 第五章 数列 1.了解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.掌握等比数列前n项和公式的性质. 3.能应用等比数列的知识解决实际问题. 问题1:我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？ 等比数列前n项和公式也具有函数特征， 知识梳理 等比数列前n项和公式的函数特征 在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的 前n项和公式是Sn＝ .即Sn是n的指数型函数. 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函数. A(qn－1) na1 注意：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 例1 数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解：当n≥2时，an=Sn-=(3n-2)-(-2)=2·. 当n=1时，a1=S1=31-2=1不适合上式. ∴an= 方法一 由于a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 方法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比可知Sn=3n-2，2≠1，故{an}不是等比数列. (1)已知Sn，通过an= 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 归纳总结 练习：(1)数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k= . (2)数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则实数a= . 问题2:你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n ＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 问题3:类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn， S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn， 故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 问题4：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 若等比数列{an}的项数有2n项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系， 若等比数列{an}的项数有2n＋1项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋… ＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项， 于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶， 即S奇＝a1＋qS偶. 知识梳理 等比数列前n项和公式的性质 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 2.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. 3.当n是偶数时，S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q. 例2 (1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则 ． (2)等比数列共有{an}项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q= ． 解：(1)由等比数列的性质得
，
，
仍成等比数列， 于是
， 不妨令
，则
， 代入解得
， 故
．
(2)由题意知， 解得 ， ... ...
