2025 年湖北省宜昌市远安第一高级中学高考数学模拟试卷（一） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 = { |log2 < 1}， = { | < 1}，则 ∩ =( ) A. ( ∞,1) B. (0,1) C. ( ∞,2) D. (0,2) 2 1+ .设复数 满足2 = ( 为虚数单位)，则 =( ) A. 2 B. 2 C. 2 + 2 D. 2 2 3.已知平面向量 , 是两个单位向量， 在 1上的投影向量为 2 ，则 ( + ) =( ) A. 1 B. 32 C. 2 D. 3 4.若数列{ }各项均为正数，则“{ }为等比数列”是“{ }为等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知抛物线 2 = 2 ( > 0) 的焦点为 ，点 ( 0, 4)在抛物线上，点 到点 的距离与到直线 = 2的距离 相等，则 =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6 ( ) = 1, ≤ 0.已知函数 1 , > 0 ，则 (2 ) + ( 3) > 0 的解集是( ) A. ( ∞,1) B. (1, + ∞) C. ( ∞, 3) D. ( 3, + ∞) 7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为 4 ，则圆台上下底面面积之差的绝对值为( ) A. B. 2 C. 4 D. 8 8.已知 0 < < < 2，则( ) A. < B. < C. < D. > 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9 1 .在二项式( + ) 2 的展开式中，前 3 项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是( ) A. = 8 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为 128 C. 1常数项为16 D.展开式中系数最大项为第 3 项和第 4 项 第 1页，共 9页 2 2 10.已知 1， 2分别是椭圆 ： 4 + 3 = 1 的左、右焦点， 为坐标原点， 为 上异于左、右顶点的一点， 是线段 2的中点，则( ) A. | | + | 2| = 2 B. | | > 1 C. △ 32内切圆半径的最大值为 6 D. △ 1 2外接圆半径的最小值为 1 11.已知递增数列{ }的各项均为正整数，且满足 = 3 ，则( ) A. 1 = 3 B. > C. 5 = 6 D. 2025 = 81 25 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.将两个 1，两个 3，一个 5 排成一行，则不同的排法种数为_____. (用数字作答) 13.函数 ( ) = | | + 的最小值为_____． 14.已知正四面体 的棱长为 2 2，动点 满足 2 + 2 = 2 + 2，用所有这样的点 构成的平面 截正四面体，则所得截面的面积为_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 7 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为8，当 1 1 输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为2 .已知输入的问题表达不清晰的概率为5． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了 3 个问题，设 表示智能客服的回答被采纳的次数.求 的分布． 16.(本小题 15 分) 如图，正方形 所在平面和等腰梯形 所在平面互相垂直，已知 = 4， = = 2，点 在线段 上． (1)求证：平面 ⊥平面 ； (2)当直线 3 21 与平面 所成角的正弦值为 14 时，求 ． 第 2页，共 9页 17.(本小题 15 分) 2 2 已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为 2， 为坐标原点，过 的右焦点的直线 交 的右支于 ， 两点，当 ⊥ 轴时，| | = 2 2． (1)求 的方程； (2)过 作直线 = 1 的垂线，垂足为 ． ( )证明：直线 过定点； ( )求△ 面积的最小值． 18.(本小题 17 分) 已知 ， ∈ ，函数 ( ) = ， ∈ [0, + ∞)． (1)当 = 0 时，求 ( )的极值； (2)若 ( )存在零点． ( )当 = 0 时，求 的取值范围； ( )求证： 2 + 2 > 2． 19.(本小题 17 分) 如图，已知给定线段 1 1长为 2，以 1 1为底边作顶角为 (0° < ≤ 90°)的等腰三角形 1 1 1，取△ 1 1 1 的腰 1 1的三等分点 2， 2( 2靠近 1)，以 2 2为底边向△ 1 1 1外部作顶角为 的等腰三角形 2 ... ...
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