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课件网) 微专题8 几何体的切接问题与嵌套 问题 2025 高考第二轮专题 数学 微点1 空间几何体的外接问题 例1 [2024·广州六校模拟]在三棱锥中，是以 为斜 边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面 平面，则三棱锥 外接球的表面积为( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图，易知直角三角形 外接圆的圆心是斜边 的中点，连接，则三棱锥 外接球的球 心在上， 易知 外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径. 在 中，由正弦定理知，（是 的外接圆 的半径），即，所以， 即三棱锥 外接球的半径为， 故三棱锥 外接球的表面积 .故选A. 自测题 1.[2024·重庆八中模拟]已知圆台的上底面积为 ，下底面积 为 ，且其外接球的半径 ，则该圆台的高为( ) A.6或7 B.8或12 C.6或8 D.7或12 [解析] 设外接球的球心为，则球心在线段上或线段 的 延长线上， 设圆台上、下底面半径分别为,，则, ， 设球心到上、下底面的距离分别为,，则 , ，解得,， 故圆台的高 或 .故选C. √ 2.在三棱锥中, 平面,, , ,则三棱锥 外接球的表面积为_____. [解析] 因为 平面,, 平面,所以 ,, 又,所以,,两两垂直, 故可将三棱锥 补为以,,为共顶点的棱的长方体, 故三棱锥 的外接球即为此长方体的外接球, 设三棱锥外接球的半径为 ,则, 所以三棱锥 外接球的表面积为 . 微点2 空间几何体的内切问题 例2（1）[2024·宁波二模]在正四棱台中， , ,，若球与上底面以及棱,,, 均相切，则球 的表面积为( ) A. B. C. D. √ [解析] 设正四棱台上、下底面的中心分别为, ,连 接,，则, ，所以棱台的 高 , 设球的半径为 ,根据正四棱台的结构特征可知， 球与上底面相切于,与棱 ,,,均相切于各边中点， 设的中点为，连接,, ,则在的延长线上， 由，得 ，解得， 所以球的表面积为 ，故选C. （2）正三棱柱 内切球（球与上、下底面和侧面都相切） 的半径是,为棱上一点，若二面角的大小为 ， 则平面 截内切球所得截面的面积为_ _____. [解析] 因为正三棱柱内切球的半径是 ， 所以正三棱柱的高，底面边长. 取 , 的中点分别为，，连接，，， ，则，， ， 因为二面角的大小为 ，所以 ， 内切圆的圆心为 上靠近点的三等分点， 内切圆的圆心为 上靠近点的三等分点， 连接, 设为正三棱柱 内切球的球心，则为的中点， 则，， 易知球心 到平面的距离等于到直线的距离. 在平面中，以 为原点，所在直线为轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ， 所在直线的方程为 ，即， 则点到直线 的距离， 即球心 到平面的距离为. 设平面 截内切球所得截面圆的半径为 ， 则 ， 所以截面圆的面积 . 自测题 1.[2024·江苏宿迁三模]若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个球是这个多面体的内切球.在四棱锥中，侧面 是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面 平面 .若四棱锥存在一个内切球，设球的体积为 ，该四 棱锥的体积为，则 的值为( ) A. B. C. D. √ [解析] 如图，取的中点，的中点 ，连接 ，，，因为 是等边三角形，所以， 又四边形是矩形，所以 ， 又，, 平面，所以平面， 又 平面，所以，又 ，所以. 因为平面 平面，平面 平面， 平面， 平面，所以 平面， 平面， 又，所以 平面， 平面， 又 平面， 平面 ，所以 ，， 所以 . 由球的对称性和正四棱锥的特征知， 平面截四棱锥的内切球 的截面为 大圆，此圆是的内切圆， 设此圆与， 分别相切于，，则四边形 为正方形， 设，又， ， 则 球的半径 ， 因为四棱锥的表面积S ， 由，解得 ，， 所以 ， ， 所以 .故选C. 2.[2024·邯郸三模] 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为1 和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器 壁、水面均相切，此时容器中水的体积 ... ...
