上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷 命题人：_____ 审核人：_____、_____ 试卷共4页1张 考生注意： 1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚． 2、本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上． 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第题每题5分） 1. 已知拋物线，则其准线方程为_____. 2. 已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为_____. 3. 设为正整数，若，则_____. 4. 设，则_____. 5. 4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是_____.（结果用数字作答） 6. 设总体由编号为的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的3个个体的编号为_____. 5044664421 6606580562 6155643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 7. 如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为_____. 8. 设为正整数，若的展开式中含有常数项，则的最小值为_____. 9 已知函数和满足，函数满足，则_____. 10. 小玲、小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球．已知小玲、小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为_____. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则_____. 12. 已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，分别满足与，则的最小值是_____. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13～14邀每题4分，第15～16题每题5分） 13. 下列求导运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，半球内有一内接正四棱锥，这个正四棱锥的高与半球的半径相等且底面正方形ABCD的边长为2，则这个半球的表面积是（ ） A. B. C. D. 15. 对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（ ） A. 与不互斥 B. 与不对立 C. 与互斥 D. 与相互独立 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（ ） ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称. A ② B. ③ C. ①② D. ②③ 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 如图，三棱柱中，底面是的中点. （1）求证：平面； （2）若，三棱柱的体积为8，求异面直线与所成角的大小. 18. 设且，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问100名职工，根据这100名职工对该部门的评分，绘制如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为. （1）求图中的值； （2）估计该企业100名职工对该部门评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分在受访职工中，随机抽取2人，求这2人评分都在的概率. 20. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； （3）过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 21 已知且，曲线. ... ...