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课件网) 5.2.1 课时1 等差数列的定义 1. 理解等差数列的定义，掌握并会推导等差数列的通项公式； 2. 能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题； 3. 理解等差数列通项公式与一次函数的关系. 观察下面几个的数列，你能通过运算发现数列①———的取值规律吗？ ① 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ② 38，40，42，44，46，48 ③ 25，24，23，22，21 对于①，我们发现 18=9+9，27=18+9....81=72+9， 换一种写法，就是 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 如果用{an}表示数列①， 那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列②———也有这样的取值规律。 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列. 一、等差数列的定义 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 符号表示：an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） 练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差. a1=3，公差 d=0 常数列 a1=3x ,公差 d= 3x × a1=95, 公差 d=－13 × × a1=1 ,公差 d= （1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10 （2） 3，3，3，3，3，3 （3） 3x，6x，9x，12x，15x （4）95，82，69，56，43，30 （5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111 （6） 1，－2，3，－4，5，－6 （7） ①判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义判断 an+1-an是不是同一个常数. ②公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，千万别把被减数与减数弄颠倒! ③公差可以是正数，负数，也可以为0. 注意事项 思考：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的定义， 可得= ，所以= = = … 于是 + + =(+ ) + + 2 + =(+ ) + + 3 … 归纳可得+() (n)， 当n时，上式为+() ，这就是说，上式当时也成立. 因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为+() 另外根据等差数列的定义可得： ∵ 将上述(n-1)个式子相加得 ∴ 当n=1时，符合上式， ∴ 二、 等差数列的通项公式 首项a1公差d的等差数列{an}的通项公式为 点睛：等差数列的通项公式an中共含有四个变量，即a1，d， n，an，如果知道了其中任意三个量，就可由通项公式求出第四个量. 例1：已知等差数列10,7,4，… （1）求这个数列的第10项； （2） -56是不是这个数列中的项？-40呢？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：(1)记数列{an}，则由题意知，， 因此数列的通项公式为， 当时，有因此第10项为. (2)设-56是数列中的第 项，则，解得 所以-56是数列的第23项. 设-40是数列中的第 项，则， 解得所以-40不是数列中的项. 问题：在等差数列的通项公式中， an与 的关系与以前学过的什么函数有关 因为+() 所以如果记 则可以看出，而且 （1）当公差时，是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此公差为0的等差数列是常数列）； （2）公差时，是一次函数，而且的增减性依赖于公差的符号，因此，当时， {an}是递增数列，当时， {an}是递减数列. 从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an=f (n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d). (I)点(n,an)落在直线y=dx+(a1-d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加_____. d 例2：已知数列{an}的通项公式为an =5－2n判断这个数列是否是等差数列，如果是求出公差，如果不是说明理由. 解：因为 所以数列{an}是等差数列，且公差为-2. 事实上，可以证明数列{an}是等差数列的充要条件是其中是常数. 例3：已知等差数列{an}的公差为求证:对于任意的正整数有 . 解：设等差数列的首项为，则 两式相减，整理可得 即. (1) ... ...
