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课件网) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 素养目标 定方向 1．知道瞬时速度的概念，能描述瞬时速度与平均速度的关系． 2．会通过极限的方法求瞬时速度． 3．会区分曲线的割线斜率与切线斜率，并知道二者的不同． 1．通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程．(数学抽象) 2．掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题．(数学抽象、数学运算) 3．通过求抛物线的切线的斜率和方程，体会极限思想的应用．(数学运算、直观想象) 必备知识 探新知 瞬时速度 我们把物体在_____的速度称为瞬时速度. 某一时刻 极限 在研究t＝1时的瞬时速度时，我们发现，当Δt无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 无限趋近于0 －5 想一想：瞬时速度与平均速度有什么关系？ A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D．5 m/s [答案] C 曲线的切线 在研究抛物线的割线时，我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于_____，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线． 一个确定的位置 想一想：割线的斜率与切线的斜率有怎样的区别与联系？ 提示：区别：割线的斜率是经过曲线上两点连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率． 联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值． 关键能力 攻重难 1.(1)如图所示，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 题|型|探|究 题型一 平均变化率的求法 A．10米/秒 B．8米/秒 C．4米/秒 D．0米/秒 [答案] (1)B (2)A [规律方法] 求平均变化率的方法步骤 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： (1)先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)． 一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围． 对点训练 题型二 瞬时变化率(瞬时速度)的求法 2.已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s) [规律方法] 求物体运动的瞬时速度的步骤： (1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (1)(2024·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( ) A．－3 B．3 C．6 D．－6 (2)已知物体的运动方程是s＝－4t2＋16t(s的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2 s时的瞬时速度为( ) A．3 m/s B．2 m/s C．1 m/s D．0 m/s [答案] (1)D (2)D 对点训练 [解析] (1)该质点在t＝1时的瞬时速度为－6， 故选D． (2)Δs＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2， 题型三 曲线在某点处的瞬时变化率(切线斜率)的求法 [答案] (2)A [规律方法] 求函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率的步骤： (1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程． [解析] f(2＋Δx)－f(2) ＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2， 所以切线的斜率 对点训练 易|错|警|示 不能正确识图致误 4.A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( ) A．两机关单位节能效果一样好 B．A机关单位比B机关单位节能效果好 C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B 机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 [错解] 选C．因为在(0，t0)上，W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，∴在(0，t0)上用电量的平均变化 ... ...
