2024-2025学年上海控江中学高三下学期数学月考试题(含答案)

控江中学2024学年第二学期高三年级数学月考 一．填空题（本大题共12题，1－6每题4分，每题5分，共54分） 1．设集合，则_____． 2．若复数满足，则复平面内复数所对应的点位于第____象限。 3．已知函数，则_____ 4．若是函数两个相邻的零点，则的值为____． 5．已知三角形为单位圆的内接正三角形，则_____. 6．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为_____ 7．已知随机变量服从正态分布，且，则的最小值为_____. 8．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为_____． 9．＂太极图＂形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的＂太极图＂，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是_____ 10．在棱长为1的正方体中，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为_____． 11．对一列整数，约定：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值。设全部输入完毕后显示的最后的结果为．若将从1到2030的2030个整数随机地输入，则的最小值和最大值之和为_____． 12．机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为14cm，开口直径为10cm。旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于_____ 二．选择题（本大题共4题，第13，14题各4分，第15，16题各5分，共18分） 13．若能被5整除，则的一组值可能为（ ） A． B． C． D． 14．如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（ ）个不同的正值． A．8 B．7 C．6 D．5 15．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：（1）；（2）将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点。下列判断正确的是（ ） A．（1），（2）都是真命题 B．（1）是真命题，（2）是假命题 C．（1）是假命题，（2）是真命题 D．（1），（2）都是假命题 16．设为等差数列，令，则＂＂是＂＂的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三．解答题（本大题共5题，共分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图，四棱锥中，底面是平行四边形， ，且． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 如图广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，其中． （1）写出关于的函数关系式； （2）如何设计，使得有最大值？ 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分 若数列满足，则称数列为项0－1数列，集合是由所有项0－1数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量 （1）若，求随机变量的分布列与数学期望； （2）求，其中且． 20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点。 （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为＂旋转函数＂＂。 （1）判断函数是否为＂旋转函 ... ...