2024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1．（5 分）下列说法正确的是（ ） A．长度相等的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度为零，方向是任意的 D． ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线 【解题思路】AB 根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C 选项，根据零向量的定义得到 C 正确；D 选 项，举出反例. 【解答过程】A 选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确； B 选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确； C 选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C 正确； D 选项，当 ∥ 时， 所在的直线与 所在的直线可能重合，故 D 不正确． 故选：C． 2．（5 分）设 = 3 2i，则在复平面内 对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由共轭复数，及复数几何意义可得答案. 【解答过程】因 = 3 2i，则 = 3 + 2i，其在复平面内对应的点为(3,2)，在第一象限. 故选：A. 3．（5 分）已知平面向量 = ( 3, 1),| | = 4，且 2 ⊥ ，则| | = （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据模的坐标运算得| | = 2，根据垂直关系可得 = 2，再根据模长关系运算求解. 【解答过程】因为 = ( 3, 1)，所以| | = 2，| | = 4， 又因为 2 ⊥ ，所以( 2 ) = | |2 2 = 0，则 = 2， 所以| | = | |2 + | |2 2 = 4 + 16 4 = 4. 故选：C. 4．（5 分）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是2 + i， 1 + 2i，0，则第四个顶点对应 的复数是（ ） A． 1 + 3i B．1 + 3i C． 1 + i D．1 + i 【解题思路】如图，由 = + 运算得解. 【解答过程】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为 (0,0)， (2,1)， ( 1,2)， π 设第四个顶点为 ( , )，由 = 2 × ( 1) +1 × 2 = 0，则∠ = 2， 所以 , 为正方形的对角线，则 = + ， ∴ ( , ) = (2,1) + ( 1,2)，解得 = 1, = 3， ∴ (1,3)，即第四个顶点对应的复数为1 + 3i. 故选：B. 5．（5 分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【解题思路】根据几何体结构特征直接判断即可. 【解答过程】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为 , , 1, 1，如图所示， 由三棱锥性质可知， 和 1 1 1 1是全等的梯形， 又平面 1 1//平面 1 1， 平面 1 1分别与平面 1 1和 1 1相交于 1, 1， 所以 1// 1，同理 1// 1， 又 1// 1，所以 1, 1, 1, 1互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C. 6．（5 分）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的 工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面 直径为 16，圆柱和圆锥的高均为 6，则该陀螺的表面积为（ ） A．240π B．220π C．160π D．176π 【解题思路】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解. 【解答过程】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 因为圆柱的底面直径为 16，所以半径为 8， 则底面圆面面积为：π × 82 = 64π， 因为圆柱的高为 6， 所以圆柱的侧面为：2 × 8π × 6 = 96π， 根据圆锥的高为 6，底面圆的半径为 8， 得圆锥母线长为 62 + 82 = 10， 1 所以圆锥的侧面为：2 × 10 × 2 × 8π = 80π， 所以该陀螺的表面积为：64π +96π +80π = 240π， 故选：A. 7．（5 分）在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(3 + )cos + cos = 0，且 2 2 2 = 2 ... ...
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