高一下学期第一次月考数学试卷（基础篇）（含解析）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

2024-2025 学年高一下学期第一次月考数学试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第 I 卷（选择题） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1．（5 分）下面命题中，正确的是（ ） A．若| | = | |，则 = B．若| | > | |，则 > C．若 = ，则 // D．若| | = 0，则 = 0 【解题思路】根据向量的概念逐一判断 【解答过程】对于A，若| | = | |，但两向量方向不确定，则 = 不成立，故选项A错误； 对于B，向量无法比较大小，故选项B错误； 对于C，若 = ，则两向量反向，因此 // ，故选项C正确； 对于D，若| | = 0，则 = 0，故选项D错误. 故选：C. 2．（5 分）复数 = 1 2i，则（ ） A． 的实部为 1 B． 的虚部为 2i C． 的虚部为 2 D． 的虚部为 1 【解题思路】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【解答过程】复数 = 1 2i的实部为 1，虚部为 2，ABD 错误，C 正确. 故选：C. 3．（5 分）已知向量 , , 满足| | = | | = 1,| | = 3，且 + + = 0，则 与 的夹角等于（ ） π π A．6 B 2π 5π ．3 C． 3 D． 6 2 2 【解题思路】由 + + = 0，可得 + = ，即 + = ，利用向量数量积的运算求解. 【解答过程】由 + + = 0，则 + = ， 2 2 2 ∴ + = ，即| | = | |2 + | |2 +2 ， ∴ 1 = 1 + 3 + 2 × 1 × 3cos , 3，解得cos , = ，又2 , ∈ [0,π]， 所以 与 5π的夹角为 6 . 故选：D. 4．（5 分）复数 满足(1 + i) = 1 i（i为虚数单位），则复数 + 1在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】应用复数除法求复数，即可得 + 1 = 1 i，根据其对应点坐标确定所在象限. 1 i (1 i)2 【解答过程】 = 1+i = 2 = i，则 + 1 = 1 i，对应点为(1, 1)位于第四象限. 故选：D. 5．（5 分）在 △ 中，点 为线段 的中点，点 满足 = 2 ，若 = + ，则 + 的值为 （ ） A 1 B 1 1 1．2 ．4 C． 2 D． 4 【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将 用 , 表示出来，从而可求出 , ，进而可求得结果. 【解答过程】因为点 D 为线段 BC 的中点，点 E 满足 = 2 ， 1 = ( + ) 所以 2 2 = + ，所以 = = 1 3 = 3 ， 3 消去 ，得2 3 = 4 ， 1 3 所以 = 2 4 = + ， 1 3 1 所以 = 2， = 4，所以 + = 4． 故选：D． 3 6 1 3．（5 分）棣莫佛定理：若复数 = (cos + isin )，则 = (cos + isin )，计算 + i =2 2 （ ） A 1 B 1 + 3i C 1 3i D 1 3． ． 2 ． ． i2 2 2 2 2 1 3 π π 1 3 3 【解题思路】变形得出2 + i = cos3 + isin3，再由棣莫佛定理可求得 + i2 2 2 的值. 1 3 π π 【解答过程】因为2 + i = cos2 3 + isin3， 1 33 π π 3 所以， + i = cos + isin = cosπ + isinπ = 12 2 3 3 . 故选：A. 7．（5 分）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角 越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为 1, 2，且| 1| = | 2|，设 1, 2的夹角为 ，旅行包所受 的重力为 ，由相关知识可以知道| | = 2| 1|cos2，当| 1| = | |时， 等于（ ） A 2π 3π 5π． 3 B． 4 C． 6 D．π 【解题思路】根据给定条件，求出cos2即可得解. 1 π 【解答过程】由| | = 2| 1|cos2，| 1| = | |，得cos2 = 2，而0 ≤ ≤ π，解得2 = 3， = 2π所以 3 . 故选：A. 8．（5 分）在 △ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，∠ = 120°， = 2， = 1， 为 边上 一点，且∠ = 90°，则 △ 的面积为（ ） A 3 B 3． ． C 3 3． D． 4 5 6 10 1 1 1 【解题思路】由已知可得2 sin∠ = 2 · ·sin∠ + 2 · ·sin∠ ，可求 ，可求 △ 的面积. 【解答过程】因为在 △ 中，∠ = 120°，又 为 边上一点，且∠ = 90°， 所以∠ = ∠ ∠ = 120° ... ...