专题8.2 一元线性回归模型及其应用【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第三册）（含答案）2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题 8.2 一元线性回归模型及其应用【九大题型】 【人教 A 版（2019）】 【题型 1 解释回归直线方程的意义】 ....................................................................................................................1 【题型 2 由散点图画求近似回归直线】 ................................................................................................................3 【题型 3 根据回归方程进行数据估计】 ................................................................................................................5 【题型 4 残差的计算】 ............................................................................................................................................8 【题型 5 刻画回归效果的方式】 ..........................................................................................................................10 【题型 6 求回归直线方程】 ..................................................................................................................................12 【题型 7 线性回归分析】 ......................................................................................................................................14 【题型 8 非线性回归分析】 ..................................................................................................................................18 【题型 9 线性回归与其他知识综合】 ..................................................................................................................22 【知识点 1 一元线性回归模型】 1．一元线性回归模型 把式子 为 Y 关于 x 的一元线性回归模型.其中，Y 称为因变量或响应变量，x 称 为自变量或解释变量；a 和 b 为模型的未知参数，a 称为截距参数，b 称为斜率参数；e 是 Y 与 bx+a 之间的 随机误差. 2．随机误差 在线性回归模型 Y=bx+a+e 中，a 和 b 为模型的未知参数，e 是 Y 与 bx+a 之间的误差，通常 e 为随机变 量，称为随机误差.它的均值 E(e)=0，方程 D(e)=σ2>0. 线性回归模型的完整表达式为 ，在此模型中，随机误差 e 的方差 σ2越小，用 bx+a 预报真实值 y 的精度越高. 【题型 1 解释回归直线方程的意义】 【例 1】（24-25 高二下·全国·课后作业）关于线性回归的描述，有下列命题： ①回归直线一定经过样本点的中心； ②相关系数 r 越大，线性相关程度越强； ③决定系数 2越接近 1 拟合效果越好； ④随机误差平方和越小，拟合效果越好． 其中正确的命题个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据回归直线方程的性质，相关系数、决定系数及随机误差平方和的意义判断各项的正误即 可． 【解答过程】对于①，回归直线一定经过样本点的中心，故①正确； 对于②，相关系数 r 的绝对值越接近于 1，线性相关性越强，故②错误； 对于③，决定系数 R 越接近 1 拟合效果越好，故③正确； 对于④，随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确． 故选：C． 【变式 1-1】（23-24 高二下·山东青岛·期中）下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ） A．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 就越接近于 1 B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线 C．在经验回归方程 = 2 0.5 中，若解释变量 增加 1 个单位，则预测值 平均减少 0.5 个单位 D．若甲、乙两个模型的决定系数 2分别为 0.87 和 0.78，则模型乙的拟合效果更好 【解题思路】根据回归方程的意义，逐项分 ... ...