专题02 平面向量范围与最值问题（4大题型）-直击2025期末：高一数学下册必考题型全解析（苏教版2019）（学生版+教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题02 平面向量范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 【知识点梳理】 平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 2、坐标法 第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化 第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 3、几何意义法 第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 【典型例题】 题型一：定义法 【例1】（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．2 【变式1-1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【变式1-3】（24-25高一下·江西赣州·期中）若向量，满足，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D． 题型二：坐标法 【例2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知，，，点在直线上运动，则的最小值为 ． 【变式2-1】（23-24高一下·吉林通化·期末）已知的面积为，为直角顶点，设向量、向量，向量，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（ ） A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值 C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值 【变式2-3】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型三：基底法 【例3】（2025·北京丰台·一模）在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式3-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（多选题）（24-25高一下·河南·期中）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为 【变式3-3】（24-25高一下·四川绵阳·阶段练习）中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 题型四：几何意义法 【例4】（24-25高一下·福建泉州·阶段练习）如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】（23-24高一下·广东广州·期末）已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·河南南阳·期中）已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段 ... ...