湖南省沅澧共同体2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

沅澧共同体 2025 年上学期高三第一次模拟考试（答案） 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C B B D A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 题号 9 10 11 答案 ABD BD ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 5 1 12． 1 13． 2 14． 3e3 , e 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分 13分) 解：（1）因为从全班 50人中随机抽取 1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为 0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为50 0.6 30，其中女生 10人，则男生 20人. 不喜欢哪吒角色的人数为50 30 20，其中男生 5人，则女生 15人（含填表）………………3 分 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 零假设为H 0 :学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得 50 10 5 15 20 2 2 8.333 6.635 = x0.01，…………………………………………………5分 30 20 25 25 根据小概率值 =0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联， 此推断犯错误的概率不大于 0.01. …………………………………………………………………6 分 20 10 （2）由题意，按分层随机抽样抽取的 6人中，男生人数为 6 4，女生人数为 6 2 .……7 分 30 30 X 表示从这 6人中随机选出 3人中男生的人数，所以 X 的所有可能取值为1,2,3 . ……………8 分 数学参考答案第 1 页 (共 4页) 1 2 P X 1 C4C2 1 P X 2 C 2C1 3 C3 1 则 3 ， 4 2 4 C 5 C3 ， P X 3 5 C3 . …………………………11 分 6 6 6 5 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 1 3 1 P 5 5 5 1 3 1 数学期望 E X 1 2 3 2 . ……………………………………………………………13 分 5 5 5 16. (本小题满分 15分) bsinC bc 解：（1）由正弦定理及 a b c，得 a b c，……………………2 分 sinA sinB sinC a b c bc (a b c)(a b c) a 2 (b c) 2 2bc b 2 c 2 a 2 ，……………………………………4 分 b2 c2 2 b2 c2 a2 bc , cosA a 1 ，………………………………………………………6 分 2bc 2 A (0, ), A …………………………………………………………………………………7分 3 （2）设 ABC的外接圆半径为 R， 由b 2c 2 3sinB 4 3sinC及正弦定理，得 2RsinB 4RsinC 2 3sinB 4 3sinC …………8分 R 3, a 2 3sin A π 2 3 sin 3．………………………………………………………10 分 3 由余弦定理得， a2 b2 c2 bc (b c)2 3 1 3bc (b c)2 (b c)2 (b c)2 ，…………………13 分 4 4 (b c)2 36，当且仅当b c 3时取等号， b c 6， ABC周长的最大值为 9．……15 分 17. (本小题满分 15分) 解：（1） PB PC， AB AC，D为BC的中点， PD BC， AD BC， ………………2分 PD AD=D, PD 平面 PAD， AD 平面 PAD， BC 平面 PAD． ………………………4分 又 BC 平面 PBC ， 平面 PAD 平面 PBC ．………………………………………………… 6 分 （2） 如图，以点A为坐标原点，分别以 AB, AC所在直线为 x轴 y轴，过点A且与平面 ABC垂直的直线为 z轴， 建立空间直角坐标系．取 AD中点 E，连接 PE， PA PD，∴PE AD． 数学参考答案第 2 页 (共 4页) 由（1）可知 BC 平面 PAD， PE 平面PAD ， BC PE ………………………………7 分 又 AD BC D ,AD 平面 ABC， BC 平面 ABC，故 PE 平面 ABC………………………8分 AB AC， AB AC 2，D为 BC的中点， AD 2 ... ...