第二章 §3 素养作业 提技能 A 组·素养自测 一、选择题 1．点C在直线AB上，且＝3，则等于( ) A．－2 B． C．－ D．2 【答案】 D 【解析】 ＝－＝3－＝2. 2．下列说法中正确的是( ) A．λa与a的方向不是相同就是相反 B．若a，b共线，则b＝λa C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a D．若b＝±2a，则|b|＝2|a| 【答案】 D 【解析】 对于A，λ＝0时，结论不成立； 对于B，a≠0时，结论成立； 对于C，|b|＝2|a|时，b与a不一定共线； 对于D，利用平面向量共线定理可知正确． 3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝( ) A．λ(＋) λ∈(0,1) B．λ(＋) λ∈ C．λ(－) λ∈(0,1) D．λ(－) λ∈ 【答案】 A 【解析】 设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)． 4．设向量＝e1，＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，||∶||＝2，则＝( ) A．e1－e2 B．e1＋e2 C．e1＋e2 D．e1－e2 【答案】 C 【解析】 由＝＋，＝，＝－，∴＝＋(－)＝e1＋(e2－e1)＝e1＋e2.故选C. 5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( ) A． B． C．－ D．－ 【答案】 A 【解析】 方法一：由＝2， 可得－＝2(－) ＝＋， 所以λ＝.故选A. 方法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A. 6．已知a，b是两个不共线的向量，向量b＋ta，a－b共线，则实数t的值为( ) A．－ B． C．－2 D．2 【答案】 C 【解析】 向量a，b不共线，则a－b≠0，由b＋ta，a－b共线，得b＋ta＝λ(a－b)，λ∈R，于是a＋b＝0，则t－λ＝0且1＋λ＝0，解得λ＝－3，t＝－2，所以实数t的值为－2.故选C. 二、填空题 7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝ ；y＝ . 【答案】 3 －4 【解析】 因为a与b不共线，根据向量相等得解得 8．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋μb，＝3a－2b，＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数λ，μ满足_____. 【答案】 5λ＋μ＝13 【解析】 方法一：因为A，B，C三点共线，所以设＝m＋(1－m)， 即：λa＋μb＝m(3a－2b)＋(1－m)(2a＋3b)＝(m＋2)a＋(－5m＋3)b， 所以，消去m得：5λ＋μ＝13. 方法二：＝－＝(λa＋μb)－(3a－2b)＝(λ－3)a＋(μ＋2)b， ＝－＝2a＋3b－(3a－2b)＝－a＋5b， 因为A，B，C三点共线，所以∥， 故5(λ－3)＝－(μ＋2)，所以5λ＋μ＝13. 9．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 . 【答案】 【解析】 由已知＝－＝－＝(－)＋＝－＋， ∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝. 三、解答题 10．已知非零向量e1和e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线； (2)欲使向量ke1＋e2与e1＋ke2平行，试确定实数k的值． 【解析】 (1)证明：因为＝＋＝5e1＋5e2＝5，且为非零向量，所以与共线，即A，B，D三点共线． (2)因为ke1＋e2与e1＋ke2平行，且两向量都为非零向量，所以存在实数λ使得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)成立， 即(k－λ)e1＝(kλ－1)e2，因为e1和e2不共线，所以所以k＝±1. B 组·素养提升 一、选择题 1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a 【答案】 C 【解析】 A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C. 2．在 ABCD中，AC与BD交于点O， ... ...
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