第五章 §1 1.1 素养作业 提技能 A 组·素养自测 一、选择题 1．如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( ) A．－2 B．1 C．2 D．1或－2 【答案】 A 【解析】 由题意知：解得a＝－2，故选A． 2．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小； ②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2； ③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 A 【解析】 对于两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误．设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误．③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误．故选A． 3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 ∵ab＝0，∴a＝0或b＝0，当b＝0时，a－bi不是纯虚数，又∵a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B． 4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( ) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 【答案】 C 【解析】 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1，故选C． 5．z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，m为实数，若z1＝z2，则m的值为( ) A．4 B．－1 C．6 D．0 【答案】 B 【解析】 由题意可知m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，所以解得所以m＝－1. 6．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(其中e是自然对数的底，i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了指数函数与三角函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，则e eq \s\up10(i)所表示的复数z＝( ) A．＋i B．－i C．－＋i D．－－i 【答案】 C 【解析】 因为eix＝cos x＋isin x，所以z＝e eq \s\up10(i)＝cos ＋isin ＝－＋i.故选C． 二、填空题 7．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝_____. 【答案】 1 【解析】 ∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数， ∴解得a＝1.故答案为1. 8．已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_____. 【答案】 2 【解析】 ∵a－2＋(a＋2)i的实部为0，故a＝2. 9．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝_____，n＝_____. 【答案】 2 ±2 【解析】 由复数相等的充要条件有 三、解答题 10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【解析】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0. 故若使z为实数，则 解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数． (2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0， 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数． (3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z为纯虚数，则 解得m＝－或m＝1. 所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数． B 组·素养提升 一、选择题 1．设复数z＝sin＋2i是纯虚线，则θ可以为( ) A． B．π C． D． 【答案】 C 【解析】 由题意得sin＝0，当θ＝，，时不合要求，当θ＝时，sin＝sin(506π)＝0.故选C． 2．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为( ) A．0 B．－1 C．－ D． 【答案】 A 【解析】 由z1>z2，得 即解得a＝0. 3．(多选)有下列四个命题，其中正确的是( ) ①方程2x－5＝0在自然数集N中无 ... ...
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