12．2 　复数的运算 学案（2课时,含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．2.2　复数的运算(2) 1. 掌握复数的乘方及除法的运算法则． 2. 掌握复数的乘方的运算律． 活动一 理解复数代数形式的乘方运算 阅读课本相关内容，回答下列问题： 1. 复数的乘方是相同复数的积，即(a＋bi)·(a＋bi)＝(a＋bi)2，(a＋bi)(a＋bi)(a＋bi)＝(a＋bi)3 等．根据复数乘法的运算律，容易验证：z，z1，z2∈C，且m，n∈N*时，有zmzn＝_____，(zm)n＝_____，(z1z2)n＝_____． 2. i的周期性： 一般地，如果n∈N*，那么我们有in的运算规律如下： i4n＝_____；i4n+1＝_____；i4n+2＝_____；i4n+3＝_____． i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝_____． 例1　计算：i＋i2＋i3＋…＋i100. 利用in的运算结果的周期性去解决问题． 计算：＋＋＋…＋. 例2　设ω＝－＋i，求证： (1) 1＋ω＋ω2＝0； (2) ω3＝1； (3) ＝ω，ω2＝. 思考 在复数范围内，你能写出方程x3＝1的3个根吗？　 充分利用ω3＝1(其中ω＝－＋i)这一特征去计算．显然当ω＝－－i时，也有ω3＝1. 计算：(－＋i)100. 活动二　理解复数代数形式的除法运算法则　 若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0，a，b，c，d∈R)，则复数x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除以复数c＋di所得的商，记作或(a＋bi)÷(c＋di). 例3　计算： (1) ； (2) . 复数的除法运算就是分子分母同乘以分母的共轭复数，也就是分母实数化． (1) ＋(－－i)3＋； (2) . 例4　在复数集内解方程：z2－10z＋40＝0. 实系数一元二次方程的解法与以前学的解法一样，只是当Δ<0时，方程有两个共轭的复数根，同时也满足根与系数的关系． 已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根． 1. (2024商丘月考)设z＝，则 　的虚部是(　　) A. 1 B. －1 C. －i D. i 2. (教材改编)设复数ω＝－i，其中i为虚数单位，则下列结论中正确的是(　　) A. ω2＝ B. ω3＝－1 C. ω2＋ω＝－1 D. ω3＝1 3. (多选)(教材改编)设z＝1＋i，则下列结论中正确的是(　　) A. z＋＝2 B. z－＝2 C. z＝2 D. ＝i 4. (2024南京月考)已知虚数z满足z＋为实数，则z·＝_____． 5. (2023南通通州中学期中)设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝4－3i. (1) 若z1·z2是实数，求a的值； (2) 若是纯虚数，求z1＋z2. 12．2.2　复数的运算(2) 【活动方案】 1. zm＋n　zmn　zz 2. 1　i　－1　－i　0 例1　原式＝(i－1－i＋1)×25＝0. 跟踪训练　因为＝－i，＝－1，＝i，＝1，＝＝＝－i， 所以＋＋＋…＋＝503×(－i－1＋i＋1)－i＝－i. 例2　(1) 1＋ω＋ω2＝1－＋i－－i＋＝0. (2) ω3＝ω2·ω＝＝＋＝1. (3) 因为ω2＝－－i， 所以＝－＋i＝ω. 因为ω＝－＋i， 所以＝－－i，所以ω2＝. 思考：略 跟踪训练　设ω＝－＋i，因为ω3＝1， 所以原式＝ω100＝(ω3)33·ω＝ω＝－＋i. 例3　(1) ＋i　(2) －i 跟踪训练　 (1) ＋(－－i)3＋＝－i＋[2i·]3＋＝－i－8i＋i＝－8i. (2) ＝＝＝＝＝－2－2i. 例4　配方，得(z－5)2＝－15， 所以z－5＝i或z－5＝－i， 所以z＝5＋i或z＝5－i. 跟踪训练　由题意，得2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0， 则10－3p＋q＋(2p－24)i＝0， 则解得 所以2x2＋12x＋26＝0，即x2＋6x＋13＝0， 即[x－(2i－3)]·[x＋(3＋2i)]＝0， 所以x＝2i－3或x＝－3－2i， 所以方程的另一根是－3－2i. 【检测反馈】 1. B　因为z＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i，则 　的虚部是－1. 2. B　ω2＝＝－－i＝－，故A错误；ω2＋ω＋1＝－i＋1≠0，故C错误；ω3＝(－－i)(－i)＝－1，故B正确，D错误． 3. ACD　由z＝1＋i可知＝1－i.z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2，故A正确；z－＝(1＋i)－(1－i)＝2i，故B错误；z＝(1＋i)(1－i)＝1－(－1)＝2，故C正确；＝＝＝＝i，故D正确．故选ACD. 4. 1　设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则＝a－bi(a ... ...