第五章 第四节　平面向量的综合问题（课件 学案 练习，共3份）2026届高中数学（通用版）一轮复习

第四节　平面向量的综合问题 1.四边形ABCD中，＝，（＋）·（－）＝0，则这个四边形是（　　） A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形 2.在水流速度为10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　） A.北偏西30°，20 km/h B.北偏西60°，10 km/h C.北偏东30°，10 km/h D.北偏东60°，20 km/h 3.已知a是单位向量，向量b（b≠a）满足b－a与a所成角为60°，则｜b｜的取值范围是（　　） A.（，＋∞） B.（，＋∞） C.（1，＋∞） D.（，＋∞） 4.已知平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，若a·b＝，则（2a＋c）·（b－c）的最小值为（　　） A.－2 B.－ C.－1 D.0 5.〔多选〕一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一力F2未知，则（　　） A.当该物体处于平衡状态时，｜F2｜＝5 N B.当F2与F1方向相反，且｜F2｜＝5 N时，该物体所受合力的大小为0 N C.当该物体所受合力为F1时，｜F2｜＝4 N D.当｜F2｜＝2 N时，3 N≤｜F1＋F2＋G｜≤7 N 6.〔多选〕已知O为坐标原点，点P1（cos α，sin α），P2（cos β，－sin β），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（　　） A.｜｜＝｜｜ B.｜｜＝｜｜ C.·＝· D.·＝· 7.已知向量a＝（cos θ，sin θ），b＝（－，1），则｜2a－b｜的最大值为　　　　. 8.已知｜a｜＝2｜b｜，｜b｜≠0，且关于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是　　　　. 9.如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，A（2，0），B（－2，0），点P，Q在单位圆上，以x轴非负半轴为始边，以射线OP为终边的角为θ，以射线OQ为终边的角为φ，满足φ－θ＝. （1）若θ＝，求·； （2）当点P在单位圆上运动时，求函数f（θ）＝·的解析式，并求f（θ）的最大值. 10.（2024·邵阳期中）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，向量p＝（sin A＋sin C，sin B），q＝（sin A－sin C，sin B），p·q＝sin A·sin B. （1）求角C； （2）若＝2，求的最大值. 11.已知（a2＋b2）（m2＋n2）＝（am＋bn）2，其中mn≠0，用向量法求证：＝. 12.（新定义）〔多选〕设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），当x1≥x2，且y1＞y2时，称a b，当x1＜x2，且y1≤y2时，称a b.下列结论正确的有（　　） A.若a b且μa λb，则μ≥λ B.若a＝（2 022，2 024），b＝（2 023，2 025），则a b C.若a b，则对于任意向量c，都有（a＋c） （b＋c） D.若a b，则对于任意向量c，都有a·c≤b·b·c 13.（创新考法）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和.若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）＝D2（lP），则Ω中所有这样的P为　　　　. 第四节　平面向量的综合问题 1.A　由题意，＝，即AD＝BC且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形，又（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，故AB＝AD，即四边形ABCD为菱形. 2.A　如图，船从点O出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，｜｜＝10，｜｜＝10，则｜｜＝＝20，则cos∠BOC＝＝，因为∠BOC为锐角，故∠BOC＝30°，故船以20 km/h的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸.故选A. 3.C　设＝a，＝b，如图所示，则由＝－，又因为a与b－a的夹角为60°，所以∠ABC＝120°.又｜｜＝｜a｜＝1，由正弦定理＝，得｜b｜＝，因为C∈（0°，60°），所以sin C∈（0，），所以｜b｜＝∈（1，＋∞）.故选C. 4.B　∵平面向量a，b，c满足｜a｜＝｜ ... ...