9．4 向 量 应 用 9.4.1 向量应用(1) 一、 单项选择题 1 在四边形ABCD中，若·＝0，且＝，则该四边形是( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 直角梯形 D. 矩形或直角梯形 2 (2024合肥期中)如图，一条河的南北两岸平行．已知游船在静水中的航行速度v1的大小为10 km/h，水流的速度v2的大小为4 km/h，则游船要从A处航行到正北方向上位于北岸的码头B处，其实际航行速度的大小为( ) A. 2 km/h B. 2 km/h C. 2 km/h D. 14 km/h 3 (2023潍坊四中月考)在△ABC中，设点O是△ABC的外心，且＝＋，则∠BAC等于( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4 在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，点D在边BC上，且BD＝BC，则AD的长度为( ) A. B. C. D. 5 (2024常德期中)在△ABC中，·＋||2＝0，·＝，则△ABC为( ) A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰(非直角)三角形 6 一条河两岸平行，河的宽度为200 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝6 km/h.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为θ，行驶完全程需要的时间为t(单位：min)，若船的航程最短，则下列结论中正确的是( ) A. <θ<，t＝1.5 B. <θ<，t＝1.5 C. <θ<，t＝2 D. <θ<，t＝2 二、 多项选择题 7 一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F1的大小为3 N，另一个力F2未知，则下列结论中正确的是( ) A. 当该物体处于平衡状态时，|F2|＝5 N B. 当F2与F1方向相反，且|F2|＝5 N时，物体所受合力的大小为0 N C. 当物体所受合力为F1时，|F2|＝4 N D. 当|F2|＝2 N时，3 N≤|F1＋F2＋G|≤7 N 8 (2024深圳月考)已知点O在△ABC所在的平面内，则下列命题中正确的有( ) A. 若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心 B. 若||＝||＝||，则点O为△ABC的外心 C. 若(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的内心 D. 若·＝·＝·，则点O为△ABC的垂心 三、 填空题 9 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体．已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是_____N. 10 在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是_____三角形． 11 (2024苏州月考)在△ABC中，已知AB＝6，BC＝5，D是边AB的中点，P为线段CD的中点，则PA2＋PB2的取值范围是_____． 四、 解答题 12 (2024福建月考)如图，一条河南北两岸平行．河面宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸．游船在静水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸上的A′处在A处的正北方向． (1) 若游船沿AA′到达北岸A′处所需的时间为6 min，求v1的大小和cos θ的值； (2) 当θ＝60°，|v1|＝10 km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 13 (2024浙江期末)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，M，N分别为边BC，AC上的点，＝，＝，AM，BN相交于点P. (1) 求||的值； (2) 求证：AM⊥PN. 9．4.2 向量应用(2) 一、 单项选择题 1 已知向量a＝(cos 58°，sin 58°)，b＝(cos 13°，sin 13°)，利用a·b＝|a||b|·cos θ＝x1x2＋y1y2计算cos 58°cos 13°＋sin 58°sin 13°的值为( ) A. cos 58° B. cos 13° C. D. 2 在△ABC中，已知点A(0，1)，B(3，2)，C(2，0)，则角A的大小为( ) A. B. C. D. 3 (2023扬州期中)如图，已知树顶A离地面 m，树上另一点B离地面 m，某人在离地面 m的C处看此树，则当该人看A，B的视角最大时，离此树的距离为( ) A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 7 m 4 (2023宁波中学期中)在△ABC中，已知D是BC的中点，且|＋|＝|－|，||＝||，则向量在上的投影向量为( ) A. B. C. － D. － 5 在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E ... ...
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