12．1 复数的概念 一、 单项选择题 1 (2023长沙雅礼中学期中)若复数z满足z＝5－i，则z的虚部是( ) A. B. － C. i D. －i 2 若(m2－5m＋6)＋(m2＋3m－10)i＝0(m∈R)，则m的值为( ) A. 2 B. 2或3 C. 2或－5 D. 2或3或－5 3 (2024白银期中)复数i＋7i2的实部与虚部之和为( ) A. －8 B. －6 C. 8 D. 6 4 (2024芜湖期中)若复数(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a等于( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 不存在 5 若复数z＝＋i是纯虚数(i是虚数单位)，则tan 的值为( ) A. － B. C. －7 D. －7或－ 6 (2024镇江期中)已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值不可能为( ) A. B. C. π D. 二、 多项选择题 7 (2024株洲期中)下列复数中是纯虚数的为( ) A. 2＋ B. i C. 8＋5i D. (1－)i 8 (2024江苏月考)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是( ) A. 若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B. (a2＋1)i(a∈R)是纯虚数 C. －1没有平方根 D. 当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数 三、 填空题 9 已知log2(x2－3x－2)＋i·log2(x2＋2x＋1)>1(i是虚数单位)，则实数x的值为_____． 10 (2024辽宁期末)已知z＝m2－4m＋mi3(m为实数，i是虚数单位)为纯虚数，则z的虚部为_____． 11 (2023厦门湖滨中学期中)已知复数(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3(其中i为虚数单位)，则实数m的值为_____． 四、 解答题 12 已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)·i}，Q＝{4i，5}，其中m∈R，i为虚数单位，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值． 13 已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R). (1) 若复数z是实数，求实数a的值； (2) 若复数z是虚数，求实数a的取值范围； (3) 判断复数z是否可能为纯虚数．若可能为纯虚数，求出实数a的值；若不可能为纯虚数，请说明理由． 12.1 复数的概念 1. B 根据复数的概念可知，z＝5－i的虚部为－. 2. A 由题意，得解得m＝2. 3. B 因为i＋7i2＝－7＋i，所以i＋7i2的实部与虚部之和为－7＋1＝－6. 4. A 因为(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，所以a－1＝0，解得a＝1. 5. C 由题意，得所以则tan θ＝－，所以tan (θ－)＝＝－7. 6. D 由题意，可知cos α＋cos 2α＝0，所以cos α＋2cos2α－1＝0，解得cosα＝－1或cos α＝，因为0<α<2π，所以α＝π或α＝或α＝. 7. BD 由纯虚数的定义得纯虚数实部为0，虚部不为0，而A，C实部不为0，B，D实部为0且虚部不为0，故i，(1－)i是纯虚数，故B，D正确．故选BD. 8. BD 对于A，取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；对于B， a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是纯虚数，故B正确；对于C，－1的平方根为±i，故C错误；对于D，当m＝4时， 则复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，故D正确．故选BD. 9. －2 由题意，得即解得x＝－2. 10. －4 由复数z＝m2－4m－mi为纯虚数，可得解得m＝4，所以z＝－4i，则复数z的虚部为－4. 11. －1 由题意，得解得m＝－1. 12. 因为P∩Q＝P∪Q，所以P＝Q， 所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i， 所以解得m＝2， 故实数m的值为2. 13. (1) 若复数z是实数，则 解得所以a＝6， 所以实数a的值为6. (2) 若复数z是虚数，则 解得 所以实数a的取值范围为{a|a≠±1且a≠6}． (3) 复数z不可能为纯虚数. 理由如下： 若复数z是纯虚数，则 即此时无解， 故复数z不可能为纯虚数． ... ...
