第5讲 小专题:含弹簧的机械能守恒问题和非质点类机械能守恒问题 考点一 含弹簧的机械能守恒问题 1.含弹簧类系统 2.含弹簧的机械能守恒问题的突破点 (1)弹簧发生形变时会具有弹性势能,系统的总动能将发生变化,若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功,系统机械能守恒。 (2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能有最大值。 (3)对同一弹簧,弹性势能的大小为Ep=kx2,弹性势能由弹簧的形变量决定,弹簧的伸长量和压缩量相等时,弹簧的弹性势能相等。 [例1] 【单物体与轻弹簧模型中的机械能守恒问题】(2023·全国甲卷,24)如图,光滑水平桌面上有一轻质弹簧,其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端,使弹簧的弹性势能为Ep。释放后,小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动,与弹簧分离后,从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间,其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等;垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后,弹起的最大高度为h,重力加速度大小为g,忽略空气阻力。求 (1)小球离开桌面时的速度大小; (2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)从释放弹簧到小球离开桌面的过程中,小球与弹簧组成的系统机械能守恒,设小球离开桌面时的速度大小为v0,由机械能守恒定律有 Ep=m, 解得v0=。 (2)小球从桌面水平飞出后,做平抛运动的过程中,有vy=gt,其水平位移x=v0t, 小球与地面碰撞弹起后在竖直方向做竖直上抛运动,设弹起时小球的竖直速度为,由运动学公式有=2gh, 小球落地前瞬间的竖直方向速度大小为vy,有=vy, 联立解得x=。 [例2] 【多物体与轻弹簧模型中的机械能守恒问题】(2024·甘肃一模)(多选)如图所示,固定在地面上的OAB为半径为R的四分之一圆环,圆心O的正上方R处有一定滑轮C,定滑轮C右侧有另一个定滑轮D,小球1套在圆环上并通过轻绳绕过两个定滑轮连接物体2,物体2又与一轻质弹簧连接在一起,轻质弹簧另一端固定在地面上。现有两种情况。情况1:小球1可在AB圆弧任意位置保持静止;情况2:小球1在A点时,轻绳刚好伸直但无张力,此时弹簧压缩量为R,现给小球1轻微的扰动,小球1沿AB圆弧运动到B点时速度为零,此时左边的绳沿着BC方向绷紧,物体2不会碰到滑轮。已知小球1质量为m1,物体2质量为m2,弹簧劲度系数为k,重力加速度为g,不计滑轮质量、大小和一切摩擦。下列说法正确的是(取sin 37°=0.6)( ) [A] 情况1中k= [B] 情况1中k= [C] 情况2中m1∶m2=4∶3 [D] 情况2中m1∶m2=3∶4 【答案】 BC 【解析】 情况1中,对小球1和物体2进行受力分析如图所示, 设轻绳张力为FT,弹簧弹力为F,定滑轮C与小球1之间的轻绳长度为x,根据相似三角形有=,若连接小球1的轻绳长度伸长Δx,弹簧长度也会变长Δx,则有ΔFT=Δx,ΔF=kΔx,因小球1可在AB圆弧任意位置保持静止,则需满足ΔFT=ΔF,解得k=,故A错误,B正确;情况2中,小球1、物体2、细绳和弹簧组成的系统机械能守恒,且初、末状态弹簧形变量均为R,弹簧的弹性势能相同,有m1gR=m2g·R,解得m1∶m2=4∶3,故C正确,D错误。 (1)含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时,物体和弹簧组成的系统机械能守恒,而单个物体和弹簧的机械能都不守恒。 (2)含弹簧的物体系统机械能守恒问题,符合一般的运动学解题规律,同时还要注意研究过程中弹簧形变量相等的情况。 考点二 非质点类机械能守恒问题 1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到链条类的物体,其在运动过程中将发生形变,其重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再看作质点来处理。 2.物体虽然不能当作质点来处理,但在只有重力做功的情况下,物体整体机械能守恒,一般情况下,可将物体分段处理,确定状态变化过程中两时刻的物体各部分的重心位置,根据初 ... ...
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