第1讲 万有引力与相对论 2024年9月底,一颗小行星被地球引力捕获,成为一颗绕地球运行的“迷你月亮”。这颗新发现的小行星被命名为2024 PT5,直径在5至42 m之间,它于9月29日至11月25日期间,被地球引力捕获并绕地球运行。于11月25日离开地球轨道,返回日心轨道。请思考: (1)不同的小行星绕地球运动的轨道以及速度、周期等有何特点 (2)万有引力定律的内容、公式及适用条件是什么 (3)地球表面不同纬度的物体所受万有引力和重力有何关系 用什么方法可以计算出地球质量 (2024·江苏泰州期中)如图所示,神舟十四号载人飞船绕地球沿椭圆轨道运动,运动周期为T,图中虚线为飞船的运行轨迹,A、B、C、D是轨迹上的四个位置,其中A点距离地球最近,C点距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点,则( ) [A] 飞船在C点速度最大 [B] 飞船在C点所受引力最大 [C] 飞船从A点经D到C点的运动时间小于 [D] 飞船从D点经C到B点的运动时间大于 【答案】 D 考点一 开普勒定律的理解与应用 把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动,请推导开普勒第三定律=k中的k值与中心天体质量的定量关系。 提示:由万有引力提供向心力,有G=m行r,解得=,故k=。 1.行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2.由开普勒第二定律可得Δl1r1=Δl2r2,v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比,近日点速度最大,远日点速度最小。 3.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 [例1] 【开普勒定律的理解】 对于开普勒行星运动定律的理解,下列说法正确的是( ) [A] 开普勒通过自己长期观测,记录了大量数据,通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律 [B] 根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨道是圆,太阳处于圆心位置 [C] 根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大;距离太阳越远,其运动速度 越小 [D] 根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比 【答案】 C 【解析】 第谷进行了长期观测,记录了大量数据,开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律,选项A错误;根据开普勒第一定律,行星围绕太阳运动的轨道是椭圆,太阳处于椭圆的一个焦点上,选项B错误;根据开普勒第二定律,行星距离太阳越近,其运动速度越大,距离太阳越远,其运动速度越小,选项C正确;根据开普勒第三定律,行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比,选项D错误。 [例2] 【开普勒定律的应用】 (2024·山东青岛三模)天宫空间站是我国独立建设的空间站系统。空间站沿图中椭圆轨道逆时针运行,图表是空间站某阶段的运行参数。已知M、N是椭圆轨道短轴的两个端点,月球的公转周期为27天。则( ) 轨道参数 近心点高度 350 km 远心点高度 450 km 轨道倾角 42° 轨道周期 90 min [A] 空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积相等 [B] 空间站从M点运行到N点的时间小于45 min [C] 月球绕地球运行的轨道半长轴约为空间站绕地球运行轨道半长轴的18倍 [D] 空间站在M点和在N点时的加速度相同 【答案】 B 【解析】 空间站和月球不是同一物体,运行轨道不同,则空间站与地心连线和月球与地心连线在相等时间内扫过的面积不一定相等,故A错误;根据开普勒第二定律,空间站距离地球越近,速度越大,所以空间站从M点运行到N点的时间小于半个周期,即小于45 min,故B正确;根据=,得===36,故C错误;空间站在M点和N点所受地球万有引力大小相等,方向不同,所以加速度大小相等,方向不同,故D错误。 开普勒定律的适用范围 (1)开普勒第二定律及其引出的推论,不仅适用于绕太阳运转的所有行星,也适用于以行星为中心的卫星,还适用于单颗行星或 ... ...
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