第3讲 小专题:带电粒子在有界磁场中运动 多解问题 考点一 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题 1.解答带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的方法技巧 找突 破口 许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时,一定要抓住这些特定的词语,挖掘其隐藏的规律,找出临界条件 两种 思路 (1)以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解。 (2)直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值 六种 方法 (1)用临界条件求极值。 (2)用边界条件求极值。 (3)用三角函数求极值。 (4)用二次方程的判别式求极值。 (5)用不等式的性质求极值。 (6)用图像法求极值 三个 结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时,由t=知,弧长(或弦长)越长,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长;当周期T一定时,由t=T知,圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长) 2.临界问题的一般解题流程 [例1] 【磁感应强度的极值问题】 (2024·贵州贵阳模拟)(多选)如图所示的直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(包括边界,图中未画出),∠ACB=30°,一带正电的粒子由AC中点以速率v0沿垂直于AC方向射入磁场,经磁场偏转后从AC边离开磁场,已知AB=L,粒子的质量为m、电荷量为q,粒子重力忽略不计。则下列说法正确的是( ) [A] 磁感应强度的大小可能为 [B] 磁感应强度最小时,粒子的出射点到C点的距离为 [C] 从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间均为 [D] 当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时,增大粒子的入射速度,粒子在磁场中的运动时间缩短 【答案】 BD 【解析】 根据题意,由牛顿第二定律有qv0B=m,解得r=,可知,半径越大,磁感应强度越小,粒子能从AC边离开磁场的临界轨迹如图所示,由几何关系可得OC=2r,AC=2AB=2L,解得CD=r=L,则有r=≤,解得B≥,故A错误,B正确;粒子在磁场中的运动周期为T==,粒子在磁场中运动时间为t=·T=,从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间为t==≤,故C错误;当磁感应强度取粒子从AC边离开磁场的最小值时,增大粒子的入射速度,粒子运动半径增大,则粒子从BC边离开磁场,速度越大,运动轨迹对应的圆心角θ越小,粒子在磁场中的运动时间越短,故D正确。 [例2] 【速度的极值问题】 (2024·湖南长沙一模)来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子,若这些粒子都到达地面,将会对地球上的生命带来危害。但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向,使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场,某研究小组模拟了一个地磁场,如图所示,半径分别为R、2R的两个同心圆,圆心为O,大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一个不计重力、比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成θ(0°<θ<30°)角、以速度v射入磁场,要使粒子不进入小圆,则v的最大值为( ) [A] [B] [C] [D] 【答案】 A 【解析】 作出粒子的临界图像,如图所示,粒子在磁场中做匀速圆周运动,结合余弦定理有(r+R)2=r2+(2R)2-2r·2Rcos(-θ),整理有r=,粒子在磁场中,洛伦兹力提供向心力有qvB=m,由题意知,其比荷为k,解得v=,所以其最大值为。故A正确。 [例3] 【运动时间的极值问题】(2024·湖北卷,7)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿 ... ...
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