第9讲 小专题:带电粒子在立体空间电、磁场中的运动 考点一 带电粒子在匀强磁场中的“旋进”运动 空间中匀强磁场的分布是三维的,带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况: (1)空间中只存在匀强磁场,当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时,带电粒子在磁场中做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 (2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时,带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动,这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 [例1] 【带电粒子的“旋进”运动】 (2024·陕西西安模拟)(多选)如图所示,匀强电场和匀强磁场的方向均水平向右。一个正离子在某时刻速度的大小为v,方向与电场、磁场方向夹角为θ。当速度方向与磁场不垂直时,可以将速度分解为平行于磁场方向的分量v1和垂直于磁场方向的分量v2来进行研究。不计离子重力,此后一段时间内,下列说法正确的是( ) [A] 离子受到的洛伦兹力大小不变 [B] 离子加速度的大小不变 [C] 静电力的瞬时功率不变 [D] 速度与电场方向的夹角θ变大 【答案】 AB 【解析】 根据运动的分解可知离子水平方向的分速度v1变大,垂直于磁场方向的分量v2不变,则洛伦兹力F洛=qv2B不变,静电力F=qE也不变,离子所受合力大小不变,根据牛顿第二定律可知加速度大小不变,故A、B正确;根据功率的计算公式P=qEv1可知,静电力的瞬时功率变大,故C错误;由于v1变大,根据速度的合成可知速度与电场方向的夹角θ变小,故D错误。 [例2] 【带电粒子的螺旋线运动】 (2024·山西晋中期中)如图所示,在Oxyz空间直角坐标系中,在x轴负半轴区域内有沿z轴负方向的匀强电场;在x轴正半轴0≤x≤3.5d范围内,以x轴为中心轴、半径为d的圆柱区域内有沿x轴正方向、磁感应强度大小B1=的匀强磁场Ⅰ,x>3.5d区域内有沿z轴负方向、磁感应强度大小B2=的匀强磁场Ⅱ。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子,从点A(-2d,0,d)以速度v0沿x轴正方向开始运动,恰好从O点进入圆柱区域,不计粒子的重力,求: (1)匀强电场的电场强度大小E; (2)粒子在圆柱区域内的运动时间t; (3)粒子离开圆柱区域右侧磁场Ⅱ时的位置坐标。 【答案】 (1) (2) (3)(3.5d,2d-,) 【解析】 (1)粒子从A点到O点,在电场中做类平抛运动,设运动时间为t1,沿x轴方向有 2d=v0t1, 沿z轴方向有d=a, 由牛顿第二定律得Eq=ma, 联立解得E=。 (2)粒子进入圆柱区域后在垂直于磁场Ⅰ方向的分速度vz=at1=v0, 由牛顿第二定律得qB1vz=, 解得r1=<, 又粒子沿平行于磁场Ⅰ方向(x轴方向)以速度v0做匀速直线运动,故粒子在圆柱区域内螺旋前进,则有3.5d=v0t, 解得t=。 (3)粒子在圆柱区域内做匀速圆周运动的周期 T==, 所以,有t=T, 故粒子在离开圆柱区域时,到xOy平面的距离为r1,到xOz平面的距离为r1,到yOz平面的距离为3.5d,即粒子离开圆柱区域时的坐标为(3.5d,-,), 粒子离开圆柱区域后,进入磁场Ⅱ,沿z轴负方向看,其轨迹如图所示, 设粒子在磁场Ⅱ中的运动半径为r2,则粒子进入磁场Ⅱ时速度大小为v==v0, 方向与x轴正方向成45°角,由牛顿第二定律得 qB2v=, 联立解得r2=d。 故粒子离开磁场区域Ⅱ时的坐标是(3.5d,2d-,)。 考点二 带电粒子在立体空间中的运动 分析带电粒子在立体空间中的运动时,要发挥空间想象力,确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间,运动过程分为不同的阶段,只要分析出每个阶段上的运动规律,再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。 [例3] 【空间的圆周运动】 (多选)如图所示,直角坐标系xOy在水平面内,z轴竖直向上,坐标原点O处固定一带正电的点电荷,空间中存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场,质量为m、带电荷 ... ...
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