人教新课标A版选修4-5数学3.2一般形式的柯西不等式同步检测

登陆21世纪教育 助您教考全无忧 3.2一般形式的柯西不等式同步检测 一、选择题 1. 设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( ) A.1 B. C.3 D. 9 答案：B 解析：【解答】由柯西不等式得， ∴. 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为. 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可. 2. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A.1 B. n C. D. 答案：C 解析：【解答】设n个正数为， 由柯西不等式，得 . 当且仅当时取等号. 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键设n个正数为，然后构造条件根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可. 3. 若实数x＋y＋z＝1，则http)://www%. 未来脑教学云平台%的最小值为( ) A.1 B.6 C.11 D. 答案： 解析：【解答】∵ . ∴，当且仅当，，时等号成立. ∴的最小值为. 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可. 4. 若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( ) A.3 B.1 C. D. 答案：D 解析：【解答】∵，∴. ，当且仅当时等号成立. 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可. 5. 已知a＋b＋c＝1，且a，b，c＞0，则的最小值为( ) A.1 B.3 C.6 D.9 答案：D 解析：【解答】∵. ∴ ， 当且仅当时等号成立. 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可. 6. 已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，，则a的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：【解答】由柯西不等式，得，即， 当且仅当时等号成立. 又，， 故， 解得，即a的最大值是2. 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件a＋b＋c＋d＝3结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可. 二、填空题 7. 函数的最小值为____ 答案：25 解析：【解答】 . 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件化简变化利用一般形式的柯西不等构造不等式计算即可. 8. 设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0，则的最小值为_____. 答案：9 解析：【解答】. 考虑以下两组向量： ，， 由柯西不等式，得； 即. 所以， 当且仅当，，时等号成立，此时取得最小值9. 【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据，如何利用一般形式的柯西不等式构造计算即可 三、解答题 9. 已知为实数,且, （1）求证:; 答案：证明:因为a>0,b>0, 所以 ① 同理可证 ② 由①, ②结合不等式的性质得 , （2）求的最小值. 答案：解：≥, 所以 当且仅当时取等号,解得 所以当时取最小值. 当时取最小值. 解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是(1)利用综合法证明不等式即可; (2)利用柯西不等式,证明不等式即可. 10. 设2x＋3y＋5z＝29，求函数的最大值. 答案：解：根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥， 故. 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即，，，时等号成立， 此时. 解析：【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件. 11. 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：. 答案：证明：本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据，，；，，，然后利用柯西不等式解决. 构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得 ，① 即， 于是. 由柯西不等式知，①中有等号成立. 因题设 ... ...