2024-2025学年上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学高一下学期期中诊断调研数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学高一下学期期中诊断调研数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知．都是单位向量，以下命题正确的是( ) A. B. C. 若，则 D. 2.在中，是为等腰三角形的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知点在第二象限，则是第 象限的角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4.已知函数的部分图像如图所示，则函数的表达式可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 5.若，则 ． 6.函数的最小正周期是 ． 7.指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 8.向量，若，则实数的值为 ． 9.若点是角终边上的一点，则 ． 10.在中，点是边上一点，，设，用表示 ． 11.若，则 ． 12.已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为 ． 13.已知都是锐角，，，则 ． 14.函数的值域为 15.已知向量，，则的最大值为 ． 16.若存在实数和正整数，使得函数在区间内恰有个零点，则所有满足条件的正整数的取值集合为 ． 三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知全集，集合，求和． 18.本小题分 已知向量． 求在上的数量投影； 求满足的实数的值： 若向量满足，且，求的坐标． 19.本小题分 在锐角中角所对的边分别为，且． 求角的大小； 若面积为，求边的最小值． 20.本小题分 吴淞口灯塔采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度单位：，如示意图，垂直放置的标杆的高度，使，，在同一直线上，也在同一水平面上，仰角，本题的距离精确到 该小组测得的一组值为，，请据此计算的值； 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离单位：，使与之差较大，可以提高测量精确度若灯塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ 21.本小题分 已知函数． 当时，求函数的单调增区间； 当时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式； 当时，若实数使得对任意实数恒成立，求实数的值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.解：令，解得，则， 令，解得，则， 故． 18.因为，，所以，， 因此，在上的数量投影． 由题意，，， 又，所以，解得． 由题意，，设， 因为，且，所以 解得或，所以或． 19.由正弦定理得，，因为， 故，又因为锐角，，． 由题意得，则， 由余弦定理得， 即， 当且仅当时等号成立，故． 20.由可得：， 同理可得， 因为， 所以， 可得． 由题意可得， 则， 所以， 而， 当且仅当时等号成立， 故当时，取最大值， 因为，所以， 所以时，最大． 21.解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； 解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； 当，，时，则， 可得，则， 于是， 可化为， 即， 所以． 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有 若，则由知，显然不满足式，故， 所以由知，故或， 当时，，则、两式矛盾， 故，由、知， 所以，； 第1页，共1页 ... ...