山西省2024-2025学年高二下学期期中联合考试数学试题(含详解)

山西省2024 2025学年高二下学期期中联合考试数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1．若，则（ ） A．3 B．27 C．81 D．18 2．设等比数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的离心率为，过左焦点的直线交于两点，为该椭圆的右焦点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 4．若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．12 B．10 C．9 D．8 5．已知函数，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 6．设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 7．函数的极小值点为（ ） A． B．1 C． D．2 8．包括甲、乙、丙在内的6人排成一排照相，要求甲与乙相邻，且甲与丙不相邻，则不同的排列种数为（ ） A．180 B．246 C．168 D．192 二、多选题（本大题共3小题） 9．过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A． B． C． D． 10．定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值.已知是圆上的动点，圆，则的取值可能是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，直观解释二项式系数规律，记第行从左至右的第个数为，若被2024除所得的余数为，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题） 12．已知，则 ， . 13．已知随机事件满足，则 . 14．近年来，国内中，短途旅游人数增长显著，2024年全年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力.甲、乙、丙三位同学打算去上海、成都、西安、南京四个地方旅游，每位同学只去一个地方，则上海有人去的情况有 种. 四、解答题（本大题共5小题） 15．如图，在长方体中，. （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 16．设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. （1）求的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和. 17．数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图. （1）估计中国大模型用户年龄的第60百分位数. （2）为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列. 18．已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． （1）求抛物线的方程； （2）若点在圆上，过点分别作的直线、与抛物线相切于、两点，求的取值范围． 19．已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数. （1）若函数是上的凸函数，求实数的取值范围. （2）已知函数. ①若是上的凹函数，求实数的取值范围； ②若在内有两个不同的零点，证明：. 参考答案 1．【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选C 2．【答案】D 【详解】因为为等比数列，所以也为等比数列， 则有， 设，则，所以，故. 故选D. 3．【答案】A 【详解】易知的周长为. 因为所以， 故的周长为. 故选A 4．【答案】B 【详解】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即. 故选B. 5．【答案】A 【详解】易知函数定义域为，因为， 所以，令，得， 所以，即，所以的单调递增区间为， 故选A. 6．【答案】 ... ...