5.1.1　变化率问题 同步学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修2

5.1.1　变化率问题 1. 了解平均速度和瞬时速度的含义． 2. 通过瞬时速度理解极限的思想． 3. 初步体会极限的思想． 活动一　了解物理中的平均速度 探究　在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11.请描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度． 思考1 运动中的快慢程度用什么量来刻画？ 思考2 计算运动员在0≤t≤这段时间里的平均速度时，你发现了什么？你有什么想法？ 活动二　瞬时速度　 思考3 平均速度只能反映在极小时间段内的大致运动状态，用什么量来精确刻画运动员的运动状态？ 瞬时速度的定义： 思考4 如何用平均速度来理解瞬时速度？ 例1　请计算探究1中运动员在t＝1之后或之前，任取一个时刻1＋Δt的时间段的平均速度，同时利用计算工具，分别计算Δt＝0.1，0.01，0.001，0.000 1，…及Δt＝－0.1，－0.01，－0.001，－0.000 1，…所对应的平均速度.当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 当Δt无限趋近于0时的平均速度就是该运动员在t＝1s时的瞬时速度，符号记为 ＝－7，理解为运动员在t＝1s时的瞬时速度v(1)＝－7m/s.注意这里的Δt可以为正，也可以为负． 一个做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S(t)＝3t－t2（S的单位：m，t的单位：s）. (1) 求此物体的初速度； (2) 求此物体在t＝2s时的瞬时速度． 活动三　抛物线的切线的斜率　 思考5 利用所学的圆锥曲线的知识，如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线方程？ 思考6 类比瞬时速度是由平均速度演变而来的，如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线方程？ 例2　求曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程． 设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为　　　　． 1. （2023北京丰台区期中）设某质点的位移S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系式为S(t)＝－t2，则质点在第1 s时的瞬时速度等于(　　) A. 2 m/s B. 1 m/s C. －1 m/s D. －2 m/s 2. 已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 3. （多选）已知物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A. 在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在t0时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 C. 在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D. 在0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 4. 已知一物体的运动方程为S＝7t2＋8，则其在t＝　　　　时的瞬时速度为1. 5. 已知曲线y＝x3上一点P，求： (1) 点P处的切线的斜率； (2) 点P处的切线方程． 5.1.1　变化率问题 【活动方案】 探究：运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快． 思考1：用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态． 思考2：＝0，用平均速度来刻画运动的快慢不是很合适，如果前后时间间隔特别小，平均速度不能准确刻画其运动快慢． 思考3：要用瞬时速度来精确刻画某一时刻的运动状态． 瞬时速度的定义：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 思考4：要让时间间隔特别小，即Δt(时间改变量)无限趋近于0的平均速度的值就是瞬时速度． 例1　当Δt>0时，＝＝＝－4.9Δt－7， 则当Δt＝0.1时，＝－7.49； 当Δt＝0.01时，＝－7.049； 当Δt＝0.001时，＝－7.004 9； 当Δt＝0.000 1时，＝－7.000 49；… 同理可得当Δt＝－0.1时，＝－6.51； 当Δt＝－0.01时，＝－6.951； 当Δt＝－0.001时，＝－6.995 1； 当Δt＝－0.000 1时，＝－6.999 51；… 当Δt无限趋近于0时，平均速度无限趋近于－7. 跟踪训练　(1) 因为＝＝3－Δt， 所以 ＝3， 即此物体的初速度 ... ...