2024-2025 学年上海市位育中学高二下学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 3 .现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积 (单位： )与直径 (单位：dm)的关系式为 = 6 ，当 = 2dm 时，气球体积的瞬时变化率为( ) A. 2 B. C. 2 D. 4 2.已知 , 是两个随机事件，且 ，则下列选项中一定成立的是( )． A. ( ∪ ) = ( ) + ( ) B. ( ∩ ) = ( ) ( ) C. ∪ = 1 ( ) D. ∪ = 1 ( ) 3.已知函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )． A.函数 = ( )在点 = 2 处的切线斜率小于零 B.函数 = ( )在区间( 1,1)上严格增 C.函数 = ( )在 = 1 处取得极大值 D.函数 = ( )在区间( 3,3)内至多有两个零点 4.若曲线 ( ) = 13 cos3 在 = 1与 = 2处的切线互相垂直，且两条切线的交点 在直线 = 上，则 的值 可能是( )． A. π3 B. 2π C. π D. 7π 6 二、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。 5.若C8 7 C = 0，则 的值为 ． 6.已知函数 ( ) = 3 + 1 的一个驻点为 = 1，则实数 = ． 7.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 种. (用具 体数字作答) 8.设函数 = ( )，其中 ( ) = sin π，则 ′ 4 = ． 第 1页，共 7页 9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用 , 表示，两个女生分别用 , 表示，相应的样本 空间为 = , , , , , ，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 ． 10 (5+ ) (5).已知函数 = ( )图像在点 (5,3)处的切线方程是 = + 8，则lim = ． →0 11.若(1 2 )2025 = + + … + 20250 1 2025 ( ∈ ) 1 + ，则 2 20252 22 + … + 22025 = ． 12.设函数 ( ) = ln 2 ( 为实数)，若 ( )在[1, + ∞)上单调递减，则实数 的取值范围 ． 13.某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了 4，3，2 个节目，若高一的节目彼此都不相邻， 高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序． 14.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的 5 位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个 小组有 3 位，另外一个小组有 2 位，则甲和乙分在不同小组的概率为 ． 15 1.已知事件 与 互斥，它们都不发生的概率是5 .且 ( ) = 3 ( )，则 = ． ′ 16.函数 = ( )， ∈ ( 2,7)的图像如图所示，设 = ( )的导函数为 = ′( )，则 ( ) 的解集 ( ) > 0 为 ． 17.抛掷一枚质地均匀的硬币 次(其中 为大于等于 2 的整数)，设事件 ： 次中既有正面朝上又有反面朝上， 事件 ： 次中至多有一次正面朝上，若事件 与事件 是独立的，则 的值为 ． 18.设函数 ( ) = (3 )e + 5 , ∈ R，若有且仅有两个整数 ( = 1,2)满足 > 0，则实数 的取值 范围为 ． 三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 12 分) 1 12 在 2 3 + 的二项展开式中 (1)求第 5 项的系数； (2)求常数项． 20.(本小题 12 分) 第 2页，共 7页 2 2 已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0) 3 的长轴长为 2 3，且点 ( 2, 3 )在椭圆 上． (1)求椭圆 的方程； (2)设直线 = + 2与椭圆 相交于不同的两点 和 ，当| | = 3时，求实数 的值． 21.(本小题 12 分) 已知 ( ) = 2ln ， ∈ ． (1)当 = 3 时，求函数 = ( )在 = 1 处的切线方程； (2)设 ( ) = ( ) 2 + (2 ) ，若 > 1，求 1 ≤ ≤ e 时函数 = ( )的最大值． 22.(本小题 12 分) 某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小 、高二小 分别荣获了高一年级和高二 年级比赛的年级 (最有价值球员).以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100 次 80% 100 ... ...
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