高一下数学人教A版2019必修第二册 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(共19张PPT)

(课件网) 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 思考1：已知，，怎样用与的坐标表示呢？ 因为，， 所以. 又 所以 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例10.若则是什么形状？证明你的猜想. 解：如图，在平面直角坐标系中画出点，我们发现是直角三角形.证明如下. 因为， 所以 于是. 因此，是直角三角形. 例11.设求及的夹角(精确到1°). 解： 因为 所以用计算器计算可得， 利用计算工具可得 例12.用向量方法证明两角差的余弦公式 解：如图，在平面直角内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，.则： 由向量数量积的坐标表示，有 设与的夹角为，则 所以 图1 图2 例12.用向量方法证明两角差的余弦公式 解：另一方面，由图1可知， 由图2可知，.于是 所以 于是， 图1 图2 题型一：向量数量积的坐标运算 1.(1)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上.若，则 解：以为坐标原点，为轴、为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，. 可设，因为，所以，. 所以. 1.(2)已知与同向，，. ①求的坐标；②若，求及. 解：①设，则有 ∴∴ ②∵ ∴ 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时，通常有两条途径“一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；而是利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积. 题型二：向量模的问题 2.(1)(2019全国卷)已知向量，则( ). A. B.2 C. D.50 解：∵ ∴ A 2.(2)已知向量，向量则的最大值为_____. 解：∵ ∴ 当且仅当时，取最大值. 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算： 利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算： 若，则，于是有. 题型三：向量的夹角和垂直问题 3.设平面上向量()，. (1)求与的夹角； 解：由题意知， 则 ∵，∴. 又，∴，即两向量的夹角为. 3.设平面上向量()，. (2)求证：与垂直. 证明：∵ ∴. 利用向量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积：利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模：利用计算两向量的模. (3)求夹角余弦值： 由公式求夹角余弦值. (4)求角：由向量夹角的范围及求的值. 注：涉及非零向量垂直问题时，一般借助来解决. 通过本节课学习，你掌握到了什么？ ... ...