8．1.2　全概率公式 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．1.2　全概率公式 1. 结合古典概型及条件概率的乘法公式，推出全概率公式． 2. 会利用全概率公式计算概率． 3. 结合古典概型了解贝叶斯公式． 活动一 背景引入 思考1 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球．先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，则该球为红球的概率是多少？ 思考2 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的和，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率． 活动二 全概率公式 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai). 这个公式称为全概率公式． 活动三　全概率公式的应用　 例1　某批麦种中，一等麦种占98%，二等麦种占2%，一、二等麦种种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.5，0.15.求用这批种子种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率． 使用全概率公式的前提是Ai(i＝1，2，3，…，n)是互斥事件，且＝Ω为样本空间，事件B Ω，才能计算事件B发生的概率． 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率． 例2　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求： (1) 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2) 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． 1. 利用公式P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． 2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 在一个袋子中装有10个球，其中1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 活动四　贝叶斯公式　 一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有 P(Ai|B)＝. 这个公式称为贝叶斯公式． 例3　某品牌锄草机由甲、乙、丙三个工厂生产，其中甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%.如果某人已经买到一台次品锄草机，问：该次品锄草机由哪个厂出产的可能性较大？ 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的． (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 1. (2024衡阳月考)甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一般，有4名同学球技高超．甲打赢球技一般的同学的概率为0.9，打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为(　　) A. 0.54 B. 0.58 C. 0.60 D. 0.64 2. (2024宿迁月考)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是(　　) A. B. C. D. 3. (多选)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25% ... ...