7．1.2 全概率公式 1. 结合古典概型及概率的乘法公式，推出全概率公式． 2. 会利用全概率公式计算概率． 活动一 背景引入 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，首先将一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率． 思考1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率． 活动二 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai). 我们称上面的公式为全概率公式．全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 活动三 全概率公式的应用 例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率． 使用全概率公式的前提是Ai(i＝1，2，3，…，n)是互斥事件，且＝Ω为样本空间，事件B Ω，才能计算事件B发生的概率． 设甲袋有3个白球和4个红球，乙袋有1个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率． 例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2, 3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1, 2, 3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率． 1. 利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． 2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 活动四 贝叶斯公式(只学不考) 思考2 例2中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么？ 贝叶斯公式： 设A1, A2, …， An 是一组两两互斥的事件， A1 ∪ A2∪ … ∪An＝Ω，且P(Ai)＞0, i＝1，2, …，n，则对任意的事件B Ω， P(B)＞0, 有 P(Ai|B)＝＝，i＝1，2，…，n. 例 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的． (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 1. (2024安康期末)某班举办知识竞赛，已知题库中有A，B两种类型的试题，A类试题的数量是B类试题数量的两倍，且甲答对A类试题的概率为，答对B类试题的概率为，从题库中任选一题作答，则甲答对题目的概率为( ) A. B. C. D. 2. (2024淮安洪泽中学月考)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( ) A. 0.155 B. 0.175 C. 0.01 D. 0.096 3. (多选)(2023镇江实验高级中学期末)甲盒中有3个红球，2 ... ...
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