7．3.2　离散型随机变量的方差 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

7．3.2　离散型随机变量的方差 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2. 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 活动一 背景引入 问题：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列分别如下表所示． X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 思考 当样本均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本均值的偏离程度，能否用一个类似于样本方差的量来刻画离散型随机变量的波动程度呢？ 活动二 随机变量的方差与标准差 1. 定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度． 而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2. 随机变量方差的意义： 随机变量的方差是一个常用来体现随机变量X取值离散程度的量，若D(X)的值越大，则表示随机变量X的取值越分散，E(X)的代表性差；若D(X)的值越小，则表示随机变量X的取值越集中，E(X)的代表性好． 3. 方差的简化计算公式： 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化． D(X)＝(xi－E(X))2pi ＝(x－2E(X)xi＋(E(X))2)pi ＝xpi－2E(X)xipi＋(E(X))2pi ＝xpi－(E(X))2 4. 离散型随机变量的方差的性质： D(aX＋b)＝a2D(X). 活动三 求离散型随机变量的方差　　 例1　抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差． 例2　投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示． 股票A收益的分布列 收益X/元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资哪种股票的期望收益大？ (2) 投资哪种股票的风险较高？ 例3　已知随机变量X的分布列如下． X －1 0 1 P a (1) 求X2的分布列； (2) 计算X的方差； (3) 若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 1. 在方差计算中，运用D(X)＝xpi－(E(X))2可以使计算简化． 2. 随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释． 1. (2024南平期末)已知随机变量X的分布列如下表所示，设Y＝3X－2，则D(Y)的值为(　　) X －1 0 1 P n A. 5 B. C. － D. －3 2. (2024黔西期末)设随机变量X的分布列如下(其中0