7．5　正 态 分 布 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

7．5　正 态 分 布 1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2. 通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3. 了解正态分布的均值、方差及其含义． 活动一　背景引入　 现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0. 我们称这类随机变量为连续型随机变量. 问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量．检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： －0.6 －1.4 －0.7 3.3 －2.9 －5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 －2.6 －3.4 －0.7 －3.2 －1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 －3.7 2.7 1.1 －3.0 －2.6 －1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 －2.0 －0.2 1.8 －0.7 －1.3 －0.5 －1.3 0.2 －2.1 2.4 －1.5 －0.4 3.8 －0.1 1.5 0.3 －1.8 0.0 2.5 3.5 －4.2 －1.0 －0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 －0.6 －4.4 －1.1 3.9 －1.0 －0.6 1.7 0.3 －2.4 －0.1 －1.7 －0.5 －0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 －1.8 －3.1 －2.1 －1.6 2.2 0.3 4.8 －0.8 －3.5 －2.7 3.8 1.4 －3.5 －0.9 －2.2 －0.7 －1.3 1.5 －1.5 －2.2 1.0 1.3 1.7 －0.9 思考1 如何描述这100个样本误差数据的分布？ 思考2 如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图有什么特征？ 活动二　了解正态密度曲线和正态分布的概念　 1. 正态密度曲线： 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2. 正态密度曲线图象有如下特征： (1) 曲线位于x轴的上方，以x轴为渐近线； (2) 曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3) 曲线在x＝μ处达到峰值； (4) 曲线与x轴之间的面积为1； (5) 当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (6) 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越扁平，总体的分布越分散；σ越小，曲线越尖陡，总体的分布越集中，如图乙所示． 甲 乙 3. 正态分布 (1) 若随机变量X的概率分布密度函数 为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布． (2) 正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).若随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2). 4. 3σ原则 (1) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2) 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值． 5. μ与σ2的含义 μ就是随机变量的均值，σ2就是随机变量的方差． 6. 标准正态分布 当μ＝0，σ＝1时，将正态分布N(0，1)称为标准正态分布． 活动三 正态分布的应用 例1　在某次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的统计图如图所示(由于人数众多，成绩分布的统计图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的是(　　) A. 甲科总体的标准差最小 B. 丙科总体的平均数最小 C. 乙科总体的标准差及平均数都居中 D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同 例2　李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1) 估计X，Y的分布中的参数； (2) 根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线； (3) ... ...