8．1.1　变量的相关关系 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

8．1.1　变量的相关关系 1. 了解变量间的相关关系的含义． 2. 了解变量间的线性相关的含义及正相关、负相关的区别． 活动一 变量间的相关关系 思考1 圆的面积与半径之间的关系是什么关系？球的体积与半径之间的关系又是什么关系？ 思考2 子女身高y与父亲身高x、粮食亩产量y与施肥量x、商品销售收入y与广告支出x、空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系，可以分别用一个关系式表示吗？ 相关关系的定义： 两个变量之间有一定的关系，但没有确定性函数关系，也就是说，相对于确定的自变量，因变量的取值具有随机性的变量之间的关系通常称之为相关关系．换句话说，两个变量之间有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度． 例1　试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系： (1) 商品的销售价格与其供应量； (2) 汽车的行驶速度与耗油量； (3) 真空中自由降落的小球，位移(单位：cm)与时间(单位：s)； (4) 日降雨量(单位：cm)与空气中污染物浓度(单位：μg/m3). 下列关系中，属于相关关系的是_____．(填序号) ①正方形的边长与面积之间的关系； ②人的年龄与他(她)拥有的学识之间的关系； ③出租车费与行驶的里程之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 活动二　线性相关关系　 因为在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系．对于两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验作出推断．“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足，如何进行更为科学、严密的推断？ 我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断． 例2　在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表所示，表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据． 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？ 如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，即从图上看，这些散点从左下向右上方向发展的趋势，我们称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，即从图上看，这些散点从左上向右下方向发展的趋势，我们称这两个变量负相关． 线性相关的定义：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且在散点图中，散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． 判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要个别点的位置的影响． 有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量正相关的是(　　) A. ①③ B. ②③　　 C. ② D. ③ 思考3 下面三张图，说明了变量之间是什么关系？ 图1　　　　　　　 　图2　　　　　　　　图3 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 1. 下列语句所表示的事件中的因素，不具有相关关系的是(　　) A. 瑞雪兆丰年 B. 读书破万卷，下笔如有神 C. 吸烟有害健康 D. 喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 2. (2024淮北国泰中学期末)对于变量x，y有以下 ... ...