8．1.2　样本相关系数 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

8．1.2　样本相关系数 1. 结合实例，了解样本相关系数的统计含义，同时要了解它与标准化数据向量夹角的关系． 2. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 活动一 样本相关系数 由给出的成对样本数据，可以画出其变量间的散点图，通过观察，可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等，但无法确切地知道成对数据的相关程度，更无法量化其相关程度的大小． 思考 类比统计中的数字特征，用哪个恰当的“数字特征”来刻画成对样本数据的相关程度？ 1. 样本相关系数r的计算公式 我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为 r＝. 2. 样本相关系数r的性质 ①|r|≤1； ②当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关； ③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； ④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 活动二　成对数据的相关程度 例1　根据教材的表8.11中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 通过抽样获取两个变量的一些成对数据，再计算样本相关系数，通过样本相关系数去估计总体相关系数，从而了解两个变量之间的相关程度． 20个工业企业某年的平均固定资产价值与总价值(单位：百万元)如下表所示． 企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年平均固定资产价值 36 43 50 40 55 58 38 45 47 42 年总产值 32.0 40.2 47.5 41.5 51.0 53.4 33.8 42.8 45.6 40.8 企业编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 年平均固定资产价值 50 70 62 58 52 63 64 53 54 56 年总产值 45.5 65.0 56.0 55.0 55.0 57.0 54.2 56.5 50.2 49.2 设年平均固定资产价值为x，年总产值为y，单位均为百万元．试画出散点图，计算相关系数． 例2　在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如下表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 身高/cm 173 179 175 179 182 173 180 170 169 177 177 178 174 体重/kg 55 71 52 62 82 63 55 81 54 54 59 67 56 臂展/cm 169 170 172 177 174 166 174 169 166 176 170 174 170 编号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 身高/cm 166 176 176 175 169 184 169 182 171 177 173 173 体重/kg 66 61 49 60 48 86 58 54 58 61 58 51 臂展/cm 161 166 165 173 162 189 164 170 164 173 165 169 体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？ 对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.785 9，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断中正确的是(　　) A. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 1. 如图所示的散点图与相关系数r一定不符合的是(　　) A. ①②③　　 B. ①②④　　 C. ①③④　　 D. ②③④ 2. (2024漳州期末)某统计部门对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，则下列结论中正确的是(　　)　　　 A. r2