2.3.1　空间向量的分解与坐标表示--2025湘教版数学选择性必修第二册同步练习题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2025湘教版数学选择性必修第二册 2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 A级 必备知识基础练 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+y+z,则(x,y,z)=(　　) A.(1,1,1) B.(1,1,-1) C.(1,-1,1) D.(-1,1,1) 2.(多选题)设{a,b,c}为空间的一组基,则下列选项中正确的是(　　) A.a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一组基 B.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c C.对空间中的任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc D.存在有序实数对,使得c=xa+yb 3.在标准正交基{a,b,c}下,已知{a+b,a-b,c}是空间的另一组基.若向量p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为 (　　) A.(4,0,3) B.(1,2,3) C.(3,1,3) D.(2,1,3) 4.已知空间A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ=(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 5.(多选题)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是平行四边形,且=a,=b,=c,则(　　) A.a-b-c= B.a+b+c= C.a+b-c= D.a-b+c= 6. 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如图所示的空间直角坐标系,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,则的坐标为　　　　　. 7. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为　　　　　. 8. 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1. (1)证明:A,E,C1,F四点共面; (2)若=x+y+z,求x+y+z的值. B级 关键能力提升练 9. 我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,四棱锥P-ABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若=x+y+z,则x+y+z=(　　) A.1 B.2 C. D. 10.(多选题)若{a,b,c}构成空间的一组基,则下列向量共面的是(　　) A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-b C.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c 11.(多选题)已知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共线,则下列式子中能使{}成为空间的一个基的是(　　) A. B.+2 C.+2+3 D.=3-2 12. 已知在棱长为2的正四面体ABCD中,以△BCD的中心O为坐标原点,OA为z轴,OC为y轴建立空间直角坐标系,如图所示,M为AB的中点,则的坐标为　　　　　. 13.已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,=2=x+y+z,则x+y+z=　　　　,OG的长为　　　　. 14.已知{e1,e2,e3}为空间的一组基,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3. (1)判断P,A,B,C四点是否共面. (2)能否以{}作为空间的一组基 若能,试以这一组基表示;若不能,请说明理由. C级 学科素养创新练 15. 在如图所示的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,已知AB=AA'=AD,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,,N为C'D'上一点,且=λ,若DM⊥AN,则λ=(　　) A. B. C. D. 16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC. 2.3.1　空间向量的分解与坐标表示 1. D　连接B1D1,,又,∴=x+y+z,∴x=-1,y=1,z=1,故选D. 2.AC　设a+b=x(b+c)+y(c+a)=ya+xb+(x+y)c,x,y∈R,则无解,即a+b,b+c,c+a不共面,所以一定能构成空间的一组基,故A正确; 若a⊥b,b⊥c,不能推出a⊥c,故B错误; 由空间向量基本定理知,空间中的任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确; 若c=xa+yb,则a,b,c共面,不能构成空间向量的一组基,故D错误.故选AC. 3.C　设向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc, 又向量p在基{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则p=4a+2b+3c, 所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,即4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc, 所以解得 所以向量p在基{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3).故选C. 4.B　=6-4+λ,即=6-4+λ,整理得=6-3+λ. 由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.故选B. 5. BC　由=b+c-a,可知A选项错误; 由=a+b+c,可知B选项正确; =a+b-c,可知C选项正确; -( ... ...