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课件网) 定理3 反证法 学习目标 了解反证法及其原理与步骤 能用反证法证明简单的命题 了解反例的作用，能通过举反例证明一个命题为假命题 情景导入 要证明一个命题，一般需要从命题的条件出发，一步一步地推出命题的结论，有时候，我们也可以反过来考虑. 例如：如何证明“一个三角形最多有一个钝角” 可以反过来考虑，如果这个命题不对， 那么一个三角形就有两个或三个钝角. 假设△ABC中不止一个钝角，那么可能有两个钝角或三个钝角. ②当有三个钝角时，同理也与∠A+∠B+∠C=180°矛盾. ∴假设不正确 ∴△ABC中最多只能有一个钝角. ①当有两个钝角时，不妨设∠A，∠B均为钝角， ∵∠A>90°，∠B>90°， ∴∠A+∠B>180° ∴∠A+∠B+∠C>180°， 这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾. 新知学习 反证法.： 像上面这样，我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 1.否定结论， 2.推出矛盾 3.假设错误 4.∴原结论是正确的 例题精讲 例2：已知: a，b，c是3条不同的直线，a//b，b//c. 求证: a//c. 证明: 假设a，c不平行，那么它们相交于一点P 1.假设结论不成立 ∵a//b，b//c， ∴过点P的两条直线a，c都与直线b平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线 与这条直线平行”矛盾. 2.产生矛盾 ∴假设不成立. ∴ a//c 3.推翻假设 4.得出原结论成立 这样，我们就证明了平行线的性质定理: 新知学行线是性质定理：平行于同一条直线的两条直线平行 几何语言表示为：∵a//b，b//c ∴a//c. 用反证法证明一个命题的步骤一般为: 1.先假设命题的结论不成立. 2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 例题学习 例3：判断命题“对于任意的有理数a，b，如果a>b，那么|a|> |b|”的真假，并说明理由. 解：这是一个假命题，理由如下: 取a=1,b=-2,此时a>b,但是|a|<|b|， ∴命题结论|a|>|b|不成立. 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 巩固新知 1. 用反证法证明: 已知：a，b，c是3条不同的直线，a//b ， a与c相交， 求证：b与c相交。 证明：假设b//c ∵ a//b（已知） ∴a//c（平行于同一条直线的两条直线平行） 这与条件a与c相交矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ b与c相交 巩固新知 2.举反例说明下列命题是假命题: (1) 如果|a|=|b|，那么a=b; (2)任何数的平方都大于0; (3) 两个锐角的和是钝角; (4)如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点 （1）取a=2 b= -2 此时|2|=|-2|，但是-2≠2 ∴命题结论a=b错误 ∴这个命题是假命题 （2）∵ ∵0不大于0， ∴命题结论错误 ∴这个命题是假命题 （3）取两个度数为锐角10°和 20°角 ∵10°+20°=30° ∵30°的角不是钝角 ∴这个命题结论错误 ∴这个命题是假命题 （4）在等腰△ABC中， ∵腰AB=AC 但是点A不是线段BC的中点， ∴命题的结论错误 ∴这个命题是假命题 课堂检测 1.用反证法证明“若a//b.b/c,则 a// c"时,应假设（ ） A.a不平行于c B.b不平行于c C.a⊥c D.b⊥c 2.举例说明“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”是假命题 。 3.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时,应假设这个三角形中（ ） A.每一个内角都大于60° B 每一个内角都小于60° C.有一个内角大于60° D.有一个内角小于60° 4.证明:在同一平面内,过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.如图，有如下步骤: ①∵∠PAB+∠PBA+∠APB>180. 这与三角形内角和定理相矛盾 ②∴假设不成立，原命题成立: ③假设过点P不止有一条直线与已知直线l垂直,不妨设 PA⊥l,垂足为A,PB⊥l ... ...
