【标题】第3章 复 数 【标题】3.1 复数的概念 [新课程标准] [新学法解读] 1.通过方程x2＋1＝0的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义. 1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性. 2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键. ＠课前精梳理 笔记 教材 知识点 复数的有关概念 1.复数的概念 把形如a＋bi（其中a，b∈R）的数称为 复数 ，其中a称为复数a＋bi的 实部 ，b称为复数a＋bi的 虚部 ，i称为 虚数单位 . 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}称为复数集. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式称为 复数的代数形式 . 2.复数相等 若两个复数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R）的实部与虚部分别相等，则称这两个复数 相等 ，即：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d. 3.复数的分类 （1）分类 对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是 实数 ；当且仅当a＝b＝0时，它是实数 0 ；当b≠0时，它叫作 虚数 ；当a＝0且b≠0时，它叫作 纯虚数 . 显然实数集R是复数集C的 子集 ，且由C中虚部为0的全体复数组成. z＝a＋bi（a，b∈R） （2）Venn图表示 重点 理解 1.数系扩充的脉络 自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集. 2.复数概念的三点说明 （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是. 3.两个复数相等的条件 （1）在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立. （2）利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解. 自我 排查 1.在2＋i，0，8＋5i，（1－）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（ C ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：i，（1－）i是纯虚数，2＋，0，0.618是实数，8＋5i是虚数. 2.若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x的值是（ B ） A.－1 B.1 C.±1 D.－1或－2 解析：∵（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数， ∴∴x＝1，故选B. 3.复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为（ C ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4 解析：由复数相等的条件，知 所以a＝－4.故选C. 4.若复数z＝m＋（m2－1）i（m∈R）满足z＜0，则m＝ －1 . 解析：∵z＜0，∴解得m＝－1. ＠课堂强研习 研习1 复数的概念和分类 [典例1] 下列命题中，正确命题的个数是（ A ） ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0； ④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根； ⑥若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数. A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①错. ②由于两个虚数不能比较大小，故②错. ③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，故③错. ④因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错. ⑤因为－1的平方根为±i，故⑤错. ⑥当a＝－1时，（a＋1）i是实数0，故⑥错. 巧归纳 利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虛部的取值范围求解.要特别注意复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. [练习1] 已知m∈R，复数z＝＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时， （1）z为实数？（2）z为虚数？（3）z为纯虚数？ 解：（1）要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3. （2）要使z为 ... ...
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