4.4　数学归纳法 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修1

4．4　数学归纳法* 数学归纳法(1) 1. 了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2. 掌握数学归纳法的步骤． 3. 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径． 活动一 了解数学归纳法的背景 情境1：有一种多米诺骨牌游戏，在一个平面上摆一排骨牌(每块骨牌都竖起)，假定这排骨牌有无数块，我们要使所有的骨牌都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块骨牌倒下；第二，保证前一块骨牌倒下后一定能击倒下一块骨牌． 思考1 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 情境2：对于数列{an}，已知a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，3……)，通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为an＝，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须经过严格的证明． 要证明这个猜想，同学们自然就会想到从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．故需要寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立． 思考2 你认为证明数列的通项公式是an＝这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？试类比多米诺骨牌游戏解决这个问题． 活动二　了解数学归纳法的原理 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法原理： (1) 证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2) 假设当n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立． 用框图表示为： 思考3 用数学归纳法证明时的注意点有哪些？ 活动三 掌握数学归纳法的简单应用———证明一些简单的数学命题 例1　用数学归纳法证明：若等差数列{an}中，a1为首项，d为公差，则通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 例2　用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＝ (n∈N*). 　用数学归纳法证明：对任意的正整数n，2＋6＋10＋…＋(4n－2)＝2n2. 思考4 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项有哪些？ 活动四　用数学归纳法证明不等式　 例3　用数学归纳法证明1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*). 用数学归纳法证明不等式的四个关键： (1) 验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1； (2) 证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不运用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设； (3) 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明； (4) 用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等． 　证明：不等式1＋＋＋＋…＋>(n∈N*)恒成立． 1. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证的不等式为(　　) A. 1＋<2 B. 1＋＋<2 C. 1＋＋<3 D. 1＋＋＋<2 2. 在用数学归纳法求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n为正整数)的过程中，从“k到k＋1”左边需增乘的代数式为(　　) A. 2k＋2 B. (2k＋1)(2k＋2) C. D. 2(2k＋1) 3. (多选)(2024佛山期末)已知Sn为数列{an}的前n项和，且an＋1＝2－(n∈N*)，则下列说法中正确的是(　　) A. 存在a1，使得S2＝2 B. 存在a1，使得{an}是常数列 C. 存在a1，使得{an}是递增数列 D. 存在a1，使得{an}是递减数列 4. 已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k+1)比f(2k)多的项数是_____． 5. (2024上海中学期末)用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1) ... ...