2024-2025学年苏科版（2024）九（下）数学第16周《确定性思维在数学解题中的应用》（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 九下数学第16周《确定性思维在数学解题中的应用》 【板块一：确定性问题】 1．如图，△ABC中，∠ABC＝α．点D在直线BC上，连接AD，将线段AD绕点D逆时针旋转α得到DE，连接AE，CE． 根据条件及图1，你发现哪些结论？试说明理由。根据图2，你再编写一道旋转类几何题 2．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE． 思考：三角形满足什么条件该三角形确定？确定的三角形有何价值？ 本题中：变中不变的是什么？模型有哪些？轨迹是什么？ 3．问题情境：如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4。把矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形纸片AB′C′D′，点B，C，D的对应点为B′，C′，D′。设点B′落在矩形ABCD边或对角线所在直线上。请提出关于线段或角这两类问题并给出解决问题的思路。 【问题解决】 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tanC，则⊙O的半径是　 　 ． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于　 　 ． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB上一点，连接CD，将△ACD以直线CD为对称轴翻折，得到△A'CD，A′C交AB与点E，当A′D⊥AB时，则AD的长是　 　 ． 4．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　 ． 5．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点． （1）若AC＝6，则BC的长是　 　 ； （2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长； ②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长． 【板块二：模型构造求最值】 1．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为 　 　 ． 2．如图，PC是△PAB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△PAB的面积最大值是 　 　 ． 3．如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　 　 ． 4．如图，C是∠AOB平分线上的一点，过点C作CP⊥OA，垂足为P，Q是直线OB上的一个动点．若∠AOB＝60°，CP＝2，则的最大值为 　 　 ． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别是边AB、AD上的点，将矩形ABCD沿着直线EF折叠，使点A与矩形ABCD内部的点P重合，求BP的最小值 【例题】 1．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG． （1）设AE＝x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长． 2．如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM． （1）求证：∠AMB＝∠BMP； （2）若DP＝1，求MD的长． ∴， ∴∠ACE＝∠ABC＝90°， ∴∠ECB＝∠ACE+∠BCA＝135°； （3）解：依题意，点D在直线BC上， ∵BA＝BC，∠ABC＝α＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵线段AD绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接AE，CE， ∴DA＝AE，∠ADE＝α＝120°， 则AD＝DE，∠DAE＝30°， ∴△ADE∽△ABC； 当D在线段CB上时，如图： ∵BA＝BC，∠ABC＝α＝120°， ∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝30°， 过点B作BH⊥AC， ∵BA＝BC， ∴，AC＝2AH， ∴， ∴， ∵线段AD绕点D逆时针旋转120°得到DE，连接AE，CE， ∴DA＝AE，∠ADE＝α＝120°， 则AD＝DE，∠DAE＝30°， ... ...