第三章　空间向量与立体几何 综合拔高练--2026北师大版高中数学选择性必修第一册同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026北师大版高中数学选择性必修第一册 综合拔高练 五年高考练 考点1　用向量法解决立体几何中的证明、求值问题 　　　　　　　　　　　　　 1.(2023全国乙理,19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=DO,点F在AC上,BF⊥AO. (1)证明:EF∥平面ADO①; (2)证明:平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值②. ①关键点拨　证明F是AC的中点 ②心中有“数”　结合定义转化,用向量法求解 考点2　用坐标法解决立体几何中的证明、求值问题 2.(2024新课标Ⅱ,17)如图,平面四边形ABCD中,AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足=,=.将△AEF沿EF翻折至△PEF①,使得PC=4. (1)证明:EF⊥PD; (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值②. ①心中有“数”　翻折问题,明确翻折前后变与不变的量 3.(2024新课标Ⅰ,17)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=. (1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为①,求AD. ①心中有“数”　向量法和几何法解决二面角问题 4.(2024全国甲理,19)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=,FB=2,M为AD的中点. (1)证明:BM∥平面CDE; (2)求二面角F-BM-E的正弦值. 5.(2023全国甲理,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 6.(2024天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1.N是B1C1的中点,M是DD1的中点. (1)求证:D1N∥平面CB1M; (2)求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值; (3)求点B到平面CB1M的距离. 考点3　用空间向量解决立体几何中的最值问题 7.(2021全国甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小 8.(2020全国新高考Ⅰ,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 强基计划 9.(多选题)(2024清华大学强基计划)正四面体ABCD中,棱长为2,点P满足|+|=2,则·的(　　) A.最小值为4-2　　　　B.最大值为2+2 C.最小值为2-2　　　　D.最大值为4+2 10.(2025浙江强基联盟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB⊥BC,PC=2,AD=CD=,点F在线段PD上且满足CF⊥PD,点E在线段PA上且满足=λ(0<λ<1). (1)证明:CF⊥AP; (2)若CE⊥PD,求λ的值; (3)若存在λ,使直线BE与平面PAC的夹角为,求AB的长度的取值范围. 三年模拟练 　　　　　　　　　　　　　 应用实践 1.(多选题)(2025江西八校协作体第一次联考)下列命题中正确的是(　　) A.若两个不同平面α,β的法向量分别是u=(1,2,-3),v=(-2,-4,6),则α⊥β B.若=(3,-1,-2),=(4,2,1),=(2,-4,-5),则点P在平面ABC内 C.已知A(0,1,0),B(1,2,0),则与方向相同的单位向量是(1,1,0) D.若{a+b,b+c,c+a}是空间向量的一组基,则{a,b,c}也是空间向量的一组基 2.(2024山东适应性联考)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1为矩形,AB=1,BC=3,且=,若点B到平面AB1D1的距离为,则点C到直线AM的距离为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2024浙江杭州期中)已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形,侧棱长与底面边长相等,P是侧棱AA'上的点(不含端点).记直线PB与直线AC的夹角为α,直线PB与直线B'C的夹角为β,二面角P-B'B-C的平面角为γ,则(　　) A.α> ... ...