2016年高考数学理试题分类汇编：导数及其应用

2016年高考数学理试题分类汇编 导数及其应用 一、选择题 1、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 2、（2016年全国I高考）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 【答案】D 二、填空题 1、（2016年全国II高考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】 2、（2016年全国III高考）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程 是_____。 【答案】 三、解答题 1、（2016年北京高考） 设函数，曲线在点处的切线方程为， （1）求，的值； （2）求的单调区间. 【解析】 （I） ∴ ∵曲线在点处的切线方程为 ∴， 即① ② 由①②解得：， （II）由（I）可知：， 令， ∴ 极小值 ∴的最小值是 ∴的最小值为 即对恒成立 ∴在上单调递增，无减区间. 2、（2016年山东高考）已知. （I）讨论的单调性； （II）当时，证明对于任意的成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数 当时，，，单调递增， ，，单调递减； 当时， 当时，， 或，，单调递增， ，，单调递减； (2) 当时，， ，，单调递增， (3) 当时，， 或，，单调递增， ，，单调递减； (Ⅱ) 当时，， 于是， ， 令　，，， 于是， ，的最小值为； 又 设，，因为，， 所以必有，使得，且 时，，单调递增； 时，，单调递减； 又，，所以的最小值为． 所以． 即对于任意的成立． 3、（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R. （I）讨论f(x)的单调性； （II）确定a的所有可能取值，使得f(x) ＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。 【解析】（I）由题意， ①当时，，，在上单调递减. ②当时，，当时，； 当时，. 故在上单调递减，在上单调递增. （II）原不等式等价于在上恒成立. 一方面，令， 只需在上恒大于0即可. 又∵，故在处必大于等于0. 令，，可得. 另一方面， 当时， ∵故，又，故在时恒大于0. ∴当时，在单调递增. ∴，故也在单调递增. ∴，即在上恒大于0. 综上，. 4、（2016年天津高考）设函数,，其中 (I)求的单调区间； (II) 若存在极值点，且，其中，求证：； （Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于. 【解析】（1） ① ，单调递增； ②，在单调递增，在单调递减，在单调递增 （2）由得 ∴ （3）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在， 使得即可 ①当时，在上单调递减 递减，成立 当时， ∵ ∴ 若时，，成立 当时，， 所以，在区间上的最大值不小于成立 5、（2016年全国I高考）已知函数有两个零点. （I）求a的取值范围； （II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2. 解：⑴ 由已知得： ① 若，那么，只有唯一的零点，不合题意； ② 若，那么， 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 即： ↓ 极小值 ↑ 故在上至多一个零点，在上至多一个零点 由于，，则， 根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点． 而当时，，， 故 则的两根，， ，因为，故当或时， 因此，当且时， 又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点． 此时，在上有且只有两个零点，满足题意． ③ 若，则， 当时，，， 即，单调递增； 当时，，，即，单调递减； 当时，，，即，单调递增． 即： + 0 - 0 + ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 而极大值 故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解 而当时，单调递增，至多一个零点 此时在上至多一个零点，不合题意． ④ 若，那么 当时，，，即， 单调递增 当时，，，即， 单调递增 又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意． ⑤ 若，则 当时，，，即， 单调递增 当时，，，即， 单调递减 当时，，，即， 单调递 ... ...