第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6．1.1 向量的概念 [新课程标准] [新学法解读] 1．理解向量的概念，掌握向量的表示方法、记法． 2．了解零向量及单位向量． 3．掌握向量的相等与平行(共线)，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 通过对向量及有关概念的学习，培养学生的数学抽象、直观想象及逻辑推理素养. 笔记 教材 1．向量 (1)向量及向量的模 一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)． (2)向量及其模的表示法、记法、写法 我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向．而且，通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点)，带箭头的端点称为向量的终点．有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示． 除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量．此时，向量a的模也用|a|或||来表示． (3)零向量与单位向量 ①零向量 始点和终点相同的向量称为零向量．零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即.零向量的模为0，即|0|＝0.零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的． ②单位向量 模不为0的向量通常称为非零向量，特别地，把模等于1的向量称为单位向量．这就是说，如果e是单位向量，则|e|＝1；反之也成立．因此，e是单位向量的充要条件是|e|＝1. 2．向量的相等与平行 (1)相等向量 一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．向量a和b相等，记作a＝b. (2)向量平行(向量共线) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b.两个向量平行也称为两个向量共线． 自我 排查 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“?”) (1)温度分为零上，零下和零，所以温度是矢量，也是向量．(?) 提示：温度本身没有方向． (2)标量能比较大小，向量也能比较大小．(?) 提示：向量有相等、不相等之分，但向量不能比较大小． (3)向量的模大于或等于零，向量的模能比较大小．(√) (4)零向量与任意向量平行．(√) 2．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ) A．和 B．和 C．和 D．和 解析：易知＝. 答案：B 3．(多选)下列命题为真命题的是( ) A．两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等 B．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上 C．在菱形ABCD中，一定有＝ D．a＝b，b＝c，则a＝c 答案：BCD 4．如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出_____个不同的向量． 解析：由题图可知，以A为始点的向量有，，，，，，，共有7个． 答案：7 研习1 向量的有关概念 [典例1] (1)在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A．①②③ B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤ (2)判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形ABCD中，一定有＝； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0. (1)解析：由定义知①正确；由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故②不正确；显然， ... ...
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